Theorem fztpval 8715

Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on NN. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fztpval	|- (A.x e. ( 1 ... 3)( F ` x) = if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) <-> (( F ` 1) = A /\ ( F ` 2) = B /\ ( F ` 3) = C))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x, C   x, F

Proof of Theorem fztpval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 8047	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		fztp 8710	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ...( 1 + 2)) = { 1 , ( 1 + 1) , ( 1 + 2) })
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- ( 1 ...( 1 + 2)) = { 1 , ( 1 + 1) , ( 1 + 2) }
4		df-3 7754	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1)
5		2cn 7766	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
6		ax-1cn 6776	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
7	5, 6	addcomi 6954	. . . . . 6 |- ( 2 + 1) = ( 1 + 2)
8	4, 7	eqtri 2057	. . . . 5 |- 3 = ( 1 + 2)
9	8	oveq2i 5466	. . . 4 |- ( 1 ... 3) = ( 1 ...( 1 + 2))
10		tpeq3 3449	. . . . . 6 |- ( 3 = ( 1 + 2) -> { 1 , 2 , 3 } = { 1 , 2 , ( 1 + 2) })
11	8, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- { 1 , 2 , 3 } = { 1 , 2 , ( 1 + 2) }
12		df-2 7753	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1)
13		tpeq2 3448	. . . . . 6 |- ( 2 = ( 1 + 1) -> { 1 , 2 , ( 1 + 2) } = { 1 , ( 1 + 1) , ( 1 + 2) })
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- { 1 , 2 , ( 1 + 2) } = { 1 , ( 1 + 1) , ( 1 + 2) }
15	11, 14	eqtri 2057	. . . 4 |- { 1 , 2 , 3 } = { 1 , ( 1 + 1) , ( 1 + 2) }
16	3, 9, 15	3eqtr4i 2067	. . 3 |- ( 1 ... 3) = { 1 , 2 , 3 }
17	16	raleqi 2503	. 2 |- (A.x e. ( 1 ... 3)( F ` x) = if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) <-> A.x e. { 1 , 2 , 3 } ( F ` x) = if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)))
18		1ex 6820	. . 3 |- 1 e. _V
19		2ex 7767	. . 3 |- 2 e. _V
20		3ex 7771	. . 3 |- 3 e. _V
21		fveq2 5121	. . . 4 |- (x = 1 -> ( F ` x) = ( F ` 1))
22		iftrue 3330	. . . 4 |- (x = 1 -> if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) = A)
23	21, 22	eqeq12d 2051	. . 3 |- (x = 1 -> (( F ` x) = if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) <-> ( F ` 1) = A))
24		fveq2 5121	. . . 4 |- (x = 2 -> ( F ` x) = ( F ` 2))
25		1re 6824	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
26		1lt2 7864	. . . . . . . 8 |- 1 < 2
27	25, 26	gtneii 6910	. . . . . . 7 |- 2 =/= 1
28		neeq1 2213	. . . . . . 7 |- (x = 2 -> (x =/= 1 <-> 2 =/= 1))
29	27, 28	mpbiri 157	. . . . . 6 |- (x = 2 -> x =/= 1)
30		ifnefalse 3336	. . . . . 6 |- (x =/= 1 -> if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) = if(x = 2 , B , C))
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 |- (x = 2 -> if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) = if(x = 2 , B , C))
32		iftrue 3330	. . . . 5 |- (x = 2 -> if(x = 2 , B , C) = B)
33	31, 32	eqtrd 2069	. . . 4 |- (x = 2 -> if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) = B)
34	24, 33	eqeq12d 2051	. . 3 |- (x = 2 -> (( F ` x) = if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) <-> ( F ` 2) = B))
35		fveq2 5121	. . . 4 |- (x = 3 -> ( F ` x) = ( F ` 3))
36		1lt3 7866	. . . . . . . 8 |- 1 < 3
37	25, 36	gtneii 6910	. . . . . . 7 |- 3 =/= 1
38		neeq1 2213	. . . . . . 7 |- (x = 3 -> (x =/= 1 <-> 3 =/= 1))
39	37, 38	mpbiri 157	. . . . . 6 |- (x = 3 -> x =/= 1)
40	39, 30	syl 14	. . . . 5 |- (x = 3 -> if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) = if(x = 2 , B , C))
41		2re 7765	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
42		2lt3 7865	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
43	41, 42	gtneii 6910	. . . . . . 7 |- 3 =/= 2
44		neeq1 2213	. . . . . . 7 |- (x = 3 -> (x =/= 2 <-> 3 =/= 2))
45	43, 44	mpbiri 157	. . . . . 6 |- (x = 3 -> x =/= 2)
46		ifnefalse 3336	. . . . . 6 |- (x =/= 2 -> if(x = 2 , B , C) = C)
47	45, 46	syl 14	. . . . 5 |- (x = 3 -> if(x = 2 , B , C) = C)
48	40, 47	eqtrd 2069	. . . 4 |- (x = 3 -> if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) = C)
49	35, 48	eqeq12d 2051	. . 3 |- (x = 3 -> (( F ` x) = if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) <-> ( F ` 3) = C))
50	18, 19, 20, 23, 34, 49	raltp 3418	. 2 |- (A.x e. { 1 , 2 , 3 } ( F ` x) = if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) <-> (( F ` 1) = A /\ ( F ` 2) = B /\ ( F ` 3) = C))
51	17, 50	bitri 173	1 |- (A.x e. ( 1 ... 3)( F ` x) = if(x = 1 , A , if(x = 2 , B , C)) <-> (( F ` 1) = A /\ ( F ` 2) = B /\ ( F ` 3) = C))

Syntax hints:   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   =/= wne 2201  A.wral 2300   ifcif 3325   {ctp 3369   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1c1 6712   + caddc 6714   2c2 7744   3c3 7745   ZZcz 8021   ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by: (None)