ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fztpval Unicode version

Theorem fztpval 8715
Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on 
NN. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fztpval  1 ... 3 F `
 if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  F `  1  F `  2  F `  3  C
Distinct variable groups:   ,   ,   , C   , F

Proof of Theorem fztpval
StepHypRef Expression
1 1z 8047 . . . . 5  1  ZZ
2 fztp 8710 . . . . 5  1  ZZ 
1 ... 1  +  2  { 1 ,  1  +  1 ,  1  +  2 }
31, 2ax-mp 7 . . . 4  1 ... 1  +  2  { 1 ,  1  +  1 ,  1  +  2 }
4 df-3 7754 . . . . . 6  3  2  +  1
5 2cn 7766 . . . . . . 7  2  CC
6 ax-1cn 6776 . . . . . . 7  1  CC
75, 6addcomi 6954 . . . . . 6  2  +  1  1  +  2
84, 7eqtri 2057 . . . . 5  3  1  +  2
98oveq2i 5466 . . . 4  1 ... 3  1 ...
1  +  2
10 tpeq3 3449 . . . . . 6  3  1  +  2  {
1 ,  2 ,  3 }  {
1 ,  2 ,  1  +  2 }
118, 10ax-mp 7 . . . . 5  { 1 ,  2 ,  3 }  { 1 ,  2 ,  1  +  2 }
12 df-2 7753 . . . . . 6  2  1  +  1
13 tpeq2 3448 . . . . . 6  2  1  +  1  {
1 ,  2 ,  1  +  2 }  {
1 ,  1  +  1 ,  1  +  2 }
1412, 13ax-mp 7 . . . . 5  { 1 ,  2 ,  1  +  2 }  { 1 ,  1  +  1 ,  1  +  2 }
1511, 14eqtri 2057 . . . 4  { 1 ,  2 ,  3 }  { 1 ,  1  +  1 ,  1  +  2 }
163, 9, 153eqtr4i 2067 . . 3  1 ... 3  { 1 ,  2 ,  3 }
1716raleqi 2503 . 2  1 ... 3 F `
 if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  { 1 ,  2 ,  3 }  F `  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C
18 1ex 6820 . . 3  1  _V
19 2ex 7767 . . 3  2  _V
20 3ex 7771 . . 3  3  _V
21 fveq2 5121 . . . 4  1  F `  F `  1
22 iftrue 3330 . . . 4  1  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C
2321, 22eqeq12d 2051 . . 3  1  F `  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  F `
 1
24 fveq2 5121 . . . 4  2  F `  F `  2
25 1re 6824 . . . . . . . 8  1  RR
26 1lt2 7864 . . . . . . . 8  1  <  2
2725, 26gtneii 6910 . . . . . . 7  2  =/=  1
28 neeq1 2213 . . . . . . 7  2  =/=  1  2  =/=  1
2927, 28mpbiri 157 . . . . . 6  2  =/=  1
30 ifnefalse 3336 . . . . . 6  =/=  1  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  if  2 ,  ,  C
3129, 30syl 14 . . . . 5  2  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  if  2 ,  ,  C
32 iftrue 3330 . . . . 5  2  if  2 ,  ,  C
3331, 32eqtrd 2069 . . . 4  2  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C
3424, 33eqeq12d 2051 . . 3  2  F `  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  F `
 2
35 fveq2 5121 . . . 4  3  F `  F `  3
36 1lt3 7866 . . . . . . . 8  1  <  3
3725, 36gtneii 6910 . . . . . . 7  3  =/=  1
38 neeq1 2213 . . . . . . 7  3  =/=  1  3  =/=  1
3937, 38mpbiri 157 . . . . . 6  3  =/=  1
4039, 30syl 14 . . . . 5  3  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  if  2 ,  ,  C
41 2re 7765 . . . . . . . 8  2  RR
42 2lt3 7865 . . . . . . . 8  2  <  3
4341, 42gtneii 6910 . . . . . . 7  3  =/=  2
44 neeq1 2213 . . . . . . 7  3  =/=  2  3  =/=  2
4543, 44mpbiri 157 . . . . . 6  3  =/=  2
46 ifnefalse 3336 . . . . . 6  =/=  2  if  2 ,  ,  C  C
4745, 46syl 14 . . . . 5  3  if  2 ,  ,  C  C
4840, 47eqtrd 2069 . . . 4  3  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  C
4935, 48eqeq12d 2051 . . 3  3  F `  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  F `
 3  C
5018, 19, 20, 23, 34, 49raltp 3418 . 2  { 1 ,  2 ,  3 }  F `  if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  F `
 1  F `
 2  F `
 3  C
5117, 50bitri 173 1  1 ... 3 F `
 if  1 ,  ,  if  2 ,  ,  C  F `  1  F `  2  F `  3  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201  wral 2300   ifcif 3325   {ctp 3369   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1c1 6712    + caddc 6714   2c2 7744   3c3 7745   ZZcz 8021   ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator