Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fztpval Structured version   GIF version

Theorem fztpval 8715
 Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fztpval (x (1...3)(𝐹x) = if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = A (𝐹‘2) = B (𝐹‘3) = 𝐶))
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐶   x,𝐹

Proof of Theorem fztpval
StepHypRef Expression
1 1z 8047 . . . . 5 1
2 fztp 8710 . . . . 5 (1 ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
31, 2ax-mp 7 . . . 4 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
4 df-3 7754 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
5 2cn 7766 . . . . . . 7 2
6 ax-1cn 6776 . . . . . . 7 1
75, 6addcomi 6954 . . . . . 6 (2 + 1) = (1 + 2)
84, 7eqtri 2057 . . . . 5 3 = (1 + 2)
98oveq2i 5466 . . . 4 (1...3) = (1...(1 + 2))
10 tpeq3 3449 . . . . . 6 (3 = (1 + 2) → {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)})
118, 10ax-mp 7 . . . . 5 {1, 2, 3} = {1, 2, (1 + 2)}
12 df-2 7753 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
13 tpeq2 3448 . . . . . 6 (2 = (1 + 1) → {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
1412, 13ax-mp 7 . . . . 5 {1, 2, (1 + 2)} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
1511, 14eqtri 2057 . . . 4 {1, 2, 3} = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
163, 9, 153eqtr4i 2067 . . 3 (1...3) = {1, 2, 3}
1716raleqi 2503 . 2 (x (1...3)(𝐹x) = if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) ↔ x {1, 2, 3} (𝐹x) = if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)))
18 1ex 6820 . . 3 1 V
19 2ex 7767 . . 3 2 V
20 3ex 7771 . . 3 3 V
21 fveq2 5121 . . . 4 (x = 1 → (𝐹x) = (𝐹‘1))
22 iftrue 3330 . . . 4 (x = 1 → if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) = A)
2321, 22eqeq12d 2051 . . 3 (x = 1 → ((𝐹x) = if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) ↔ (𝐹‘1) = A))
24 fveq2 5121 . . . 4 (x = 2 → (𝐹x) = (𝐹‘2))
25 1re 6824 . . . . . . . 8 1
26 1lt2 7864 . . . . . . . 8 1 < 2
2725, 26gtneii 6910 . . . . . . 7 2 ≠ 1
28 neeq1 2213 . . . . . . 7 (x = 2 → (x ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
2927, 28mpbiri 157 . . . . . 6 (x = 2 → x ≠ 1)
30 ifnefalse 3336 . . . . . 6 (x ≠ 1 → if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) = if(x = 2, B, 𝐶))
3129, 30syl 14 . . . . 5 (x = 2 → if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) = if(x = 2, B, 𝐶))
32 iftrue 3330 . . . . 5 (x = 2 → if(x = 2, B, 𝐶) = B)
3331, 32eqtrd 2069 . . . 4 (x = 2 → if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) = B)
3424, 33eqeq12d 2051 . . 3 (x = 2 → ((𝐹x) = if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) ↔ (𝐹‘2) = B))
35 fveq2 5121 . . . 4 (x = 3 → (𝐹x) = (𝐹‘3))
36 1lt3 7866 . . . . . . . 8 1 < 3
3725, 36gtneii 6910 . . . . . . 7 3 ≠ 1
38 neeq1 2213 . . . . . . 7 (x = 3 → (x ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
3937, 38mpbiri 157 . . . . . 6 (x = 3 → x ≠ 1)
4039, 30syl 14 . . . . 5 (x = 3 → if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) = if(x = 2, B, 𝐶))
41 2re 7765 . . . . . . . 8 2
42 2lt3 7865 . . . . . . . 8 2 < 3
4341, 42gtneii 6910 . . . . . . 7 3 ≠ 2
44 neeq1 2213 . . . . . . 7 (x = 3 → (x ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
4543, 44mpbiri 157 . . . . . 6 (x = 3 → x ≠ 2)
46 ifnefalse 3336 . . . . . 6 (x ≠ 2 → if(x = 2, B, 𝐶) = 𝐶)
4745, 46syl 14 . . . . 5 (x = 3 → if(x = 2, B, 𝐶) = 𝐶)
4840, 47eqtrd 2069 . . . 4 (x = 3 → if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) = 𝐶)
4935, 48eqeq12d 2051 . . 3 (x = 3 → ((𝐹x) = if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) ↔ (𝐹‘3) = 𝐶))
5018, 19, 20, 23, 34, 49raltp 3418 . 2 (x {1, 2, 3} (𝐹x) = if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = A (𝐹‘2) = B (𝐹‘3) = 𝐶))
5117, 50bitri 173 1 (x (1...3)(𝐹x) = if(x = 1, A, if(x = 2, B, 𝐶)) ↔ ((𝐹‘1) = A (𝐹‘2) = B (𝐹‘3) = 𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201  ∀wral 2300  ifcif 3325  {ctp 3369  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1c1 6712   + caddc 6714  2c2 7744  3c3 7745  ℤcz 8021  ...cfz 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator