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Theorem difelfznle 8991
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfznle  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfznle
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 8971 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2 nn0addcl 8215 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
32nn0zd 8356 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
433adant3 924 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
51, 4sylbi 114 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
6 elfzelz 8888 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
7 zsubcl 8284 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  K
)  e.  ZZ )
85, 6, 7syl2anr 274 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ZZ )
983adant3 924 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ZZ )
106zred 8358 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  RR )
1110adantr 261 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
12 elfzel2 8886 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
1312zred 8358 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  RR )
1413adantr 261 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
15 nn0readdcl 8239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
16153adant3 924 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
171, 16sylbi 114 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
1817adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
19 elfzle2 8890 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
20 elfzle1 8889 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  M )
21 nn0re 8188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
22 nn0re 8188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2321, 22anim12ci 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
24233adant3 924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
251, 24sylbi 114 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
26 addge02 7466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  M  <->  N  <_  ( M  +  N ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  M  <->  N  <_  ( M  +  N ) ) )
2820, 27mpbid 135 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  <_  ( M  +  N
) )
2919, 28anim12i 321 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  <_  N  /\  N  <_  ( M  +  N )
) )
30 letr 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( M  +  N )  e.  RR )  ->  (
( K  <_  N  /\  N  <_  ( M  +  N ) )  ->  K  <_  ( M  +  N )
) )
3130imp 115 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  /\  ( K  <_  N  /\  N  <_  ( M  +  N )
) )  ->  K  <_  ( M  +  N
) )
3211, 14, 18, 29, 31syl31anc 1138 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  <_  ( M  +  N )
)
33323adant3 924 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  K  <_  ( M  +  N )
)
34 zre 8247 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
3521, 22anim12i 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
36353adant3 924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
371, 36sylbi 114 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
38 readdcl 7005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  N
)  e.  RR )
3937, 38syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
4034, 39anim12ci 322 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
416, 40sylan 267 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
42413adant3 924 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
43 subge0 7468 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( M  +  N
)  -  K )  <-> 
K  <_  ( M  +  N ) ) )
4442, 43syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( 0  <_ 
( ( M  +  N )  -  K
)  <->  K  <_  ( M  +  N ) ) )
4533, 44mpbird 156 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  0  <_  (
( M  +  N
)  -  K ) )
46 elnn0z 8256 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( M  +  N )  -  K
) ) )
479, 45, 46sylanbrc 394 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  NN0 )
48 elfz3nn0 8974 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
49483ad2ant1 925 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  N  e.  NN0 )
50 elfzelz 8888 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
51 zltnle 8289 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <  K  <->  -.  K  <_  M )
)
5251ancoms 255 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  K  <->  -.  K  <_  M )
)
53 zre 8247 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
54 ltle 7103 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <  K  ->  M  <_  K )
)
5553, 34, 54syl2anr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  K  ->  M  <_  K )
)
5652, 55sylbird 159 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  <_  M  ->  M  <_  K
) )
576, 50, 56syl2an 273 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -.  K  <_  M  ->  M  <_  K ) )
58573impia 1101 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  M  <_  K
)
5950zred 8358 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  RR )
6059adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  RR )
6160, 11, 14leadd1d 7528 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
62613adant3 924 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
6358, 62mpbid 135 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( M  +  N )  <_  ( K  +  N )
)
6418, 11, 14lesubadd2d 7533 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
65643adant3 924 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
6663, 65mpbird 156 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N
)
67 elfz2nn0 8971 . 2  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  K )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( (
( M  +  N
)  -  K )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N
) )
6847, 49, 66, 67syl3anbrc 1088 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   RRcr 6886   0cc0 6887    + caddc 6890    < clt 7058    <_ cle 7059    - cmin 7180   NN0cn0 8179   ZZcz 8243   ...cfz 8872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-inn 7913  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-fz 8873
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