Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difelfznle GIF version

Theorem difelfznle 8993
 Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfznle ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfznle
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 8973 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2 nn0addcl 8217 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
32nn0zd 8358 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
433adant3 924 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
51, 4sylbi 114 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
6 elfzelz 8890 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7 zsubcl 8286 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
85, 6, 7syl2anr 274 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
983adant3 924 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
106zred 8360 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantr 261 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
12 elfzel2 8888 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1312zred 8360 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
1413adantr 261 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 nn0readdcl 8241 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16153adant3 924 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
171, 16sylbi 114 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
1817adantl 262 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
19 elfzle2 8892 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
20 elfzle1 8891 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
21 nn0re 8190 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
22 nn0re 8190 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2321, 22anim12ci 322 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24233adant3 924 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
251, 24sylbi 114 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
26 addge02 7468 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2820, 27mpbid 135 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
2919, 28anim12i 321 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30 letr 7101 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3130imp 115 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
3211, 14, 18, 29, 31syl31anc 1138 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
33323adant3 924 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
34 zre 8249 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3521, 22anim12i 321 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36353adant3 924 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
371, 36sylbi 114 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
38 readdcl 7007 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
3937, 38syl 14 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4034, 39anim12ci 322 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
416, 40sylan 267 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
42413adant3 924 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
43 subge0 7470 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4442, 43syl 14 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4533, 44mpbird 156 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾))
46 elnn0z 8258 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾)))
479, 45, 46sylanbrc 394 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0)
48 elfz3nn0 8976 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49483ad2ant1 925 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
50 elfzelz 8890 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
51 zltnle 8291 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
5251ancoms 255 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
53 zre 8249 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54 ltle 7105 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5553, 34, 54syl2anr 274 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5652, 55sylbird 159 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
576, 50, 56syl2an 273 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
58573impia 1101 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝑀𝐾)
5950zred 8360 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
6059adantl 262 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6160, 11, 14leadd1d 7530 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
62613adant3 924 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6358, 62mpbid 135 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁))
6418, 11, 14lesubadd2d 7535 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
65643adant3 924 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6663, 65mpbird 156 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
67 elfz2nn0 8973 . 2 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
6847, 49, 66, 67syl3anbrc 1088 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182  ℕ0cn0 8181  ℤcz 8245  ...cfz 8874 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator