Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difelfznle GIF version

Theorem difelfznle 8763
 Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfznle ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfznle
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 8743 . . . . . 6 (𝑀 (0...𝑁) ↔ (𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁))
2 nn0addcl 7993 . . . . . . . 8 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑀 + 𝑁) 0)
32nn0zd 8134 . . . . . . 7 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑀 + 𝑁) ℤ)
433adant3 923 . . . . . 6 ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ℤ)
51, 4sylbi 114 . . . . 5 (𝑀 (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ℤ)
6 elfzelz 8660 . . . . 5 (𝐾 (0...𝑁) → 𝐾 ℤ)
7 zsubcl 8062 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) 𝐾 ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ℤ)
85, 6, 7syl2anr 274 . . . 4 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ℤ)
983adant3 923 . . 3 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ℤ)
106zred 8136 . . . . . . 7 (𝐾 (0...𝑁) → 𝐾 ℝ)
1110adantr 261 . . . . . 6 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → 𝐾 ℝ)
12 elfzel2 8658 . . . . . . . 8 (𝐾 (0...𝑁) → 𝑁 ℤ)
1312zred 8136 . . . . . . 7 (𝐾 (0...𝑁) → 𝑁 ℝ)
1413adantr 261 . . . . . 6 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → 𝑁 ℝ)
15 nn0readdcl 8017 . . . . . . . . 9 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑀 + 𝑁) ℝ)
16153adant3 923 . . . . . . . 8 ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ℝ)
171, 16sylbi 114 . . . . . . 7 (𝑀 (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ℝ)
1817adantl 262 . . . . . 6 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → (𝑀 + 𝑁) ℝ)
19 elfzle2 8662 . . . . . . 7 (𝐾 (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
20 elfzle1 8661 . . . . . . . 8 (𝑀 (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
21 nn0re 7966 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 0𝑀 ℝ)
22 nn0re 7966 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 0𝑁 ℝ)
2321, 22anim12ci 322 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑁 𝑀 ℝ))
24233adant3 923 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → (𝑁 𝑀 ℝ))
251, 24sylbi 114 . . . . . . . . 9 (𝑀 (0...𝑁) → (𝑁 𝑀 ℝ))
26 addge02 7263 . . . . . . . . 9 ((𝑁 𝑀 ℝ) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8 (𝑀 (0...𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2820, 27mpbid 135 . . . . . . 7 (𝑀 (0...𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
2919, 28anim12i 321 . . . . . 6 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → (𝐾𝑁 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30 letr 6898 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑁 (𝑀 + 𝑁) ℝ) → ((𝐾𝑁 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3130imp 115 . . . . . 6 (((𝐾 𝑁 (𝑀 + 𝑁) ℝ) (𝐾𝑁 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
3211, 14, 18, 29, 31syl31anc 1137 . . . . 5 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
33323adant3 923 . . . 4 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
34 zre 8025 . . . . . . . 8 (𝐾 ℤ → 𝐾 ℝ)
3521, 22anim12i 321 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝑀 𝑁 ℝ))
36353adant3 923 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → (𝑀 𝑁 ℝ))
371, 36sylbi 114 . . . . . . . . 9 (𝑀 (0...𝑁) → (𝑀 𝑁 ℝ))
38 readdcl 6805 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (𝑀 + 𝑁) ℝ)
3937, 38syl 14 . . . . . . . 8 (𝑀 (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ℝ)
4034, 39anim12ci 322 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑀 (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) 𝐾 ℝ))
416, 40sylan 267 . . . . . 6 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) 𝐾 ℝ))
42413adant3 923 . . . . 5 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) 𝐾 ℝ))
43 subge0 7265 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) 𝐾 ℝ) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4442, 43syl 14 . . . 4 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4533, 44mpbird 156 . . 3 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾))
46 elnn0z 8034 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) 0 ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾)))
479, 45, 46sylanbrc 394 . 2 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) 0)
48 elfz3nn0 8746 . . 3 (𝐾 (0...𝑁) → 𝑁 0)
49483ad2ant1 924 . 2 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → 𝑁 0)
50 elfzelz 8660 . . . . . 6 (𝑀 (0...𝑁) → 𝑀 ℤ)
51 zltnle 8067 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝐾 ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
5251ancoms 255 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑀 ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
53 zre 8025 . . . . . . . 8 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℝ)
54 ltle 6902 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝐾 ℝ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5553, 34, 54syl2anr 274 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑀 ℤ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5652, 55sylbird 159 . . . . . 6 ((𝐾 𝑀 ℤ) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
576, 50, 56syl2an 273 . . . . 5 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
58573impia 1100 . . . 4 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → 𝑀𝐾)
5950zred 8136 . . . . . . 7 (𝑀 (0...𝑁) → 𝑀 ℝ)
6059adantl 262 . . . . . 6 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → 𝑀 ℝ)
6160, 11, 14leadd1d 7325 . . . . 5 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
62613adant3 923 . . . 4 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6358, 62mpbid 135 . . 3 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁))
6418, 11, 14lesubadd2d 7330 . . . 4 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
65643adant3 923 . . 3 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6663, 65mpbird 156 . 2 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
67 elfz2nn0 8743 . 2 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) (0...𝑁) ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) 0 𝑁 0 ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
6847, 49, 66, 67syl3anbrc 1087 1 ((𝐾 (0...𝑁) 𝑀 (0...𝑁) ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) (0...𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711   + caddc 6714   < clt 6857   ≤ cle 6858   − cmin 6979  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021  ...cfz 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator