ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subge0 Structured version   Unicode version

Theorem subge0 7245
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subge0  RR  RR  0  <_  -  <_

Proof of Theorem subge0
StepHypRef Expression
1 0red 6806 . . 3  RR  RR  0  RR
2 simpr 103 . . 3  RR  RR  RR
3 simpl 102 . . 3  RR  RR  RR
4 leaddsub 7208 . . 3  0  RR  RR  RR  0  +  <_  0  <_  -
51, 2, 3, 4syl3anc 1134 . 2  RR  RR  0  +  <_ 
0  <_  -
62recnd 6831 . . . 4  RR  RR  CC
76addid2d 6940 . . 3  RR  RR  0  +
87breq1d 3765 . 2  RR  RR  0  +  <_  <_
95, 8bitr3d 179 1  RR  RR  0  <_  -  <_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6690   0cc0 6691    + caddc 6694    <_ cle 6838    - cmin 6959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962
This theorem is referenced by:  subge0i  7268  subge0d  7301  znn0sub  8065  uzsubsubfz  8661  difelfzle  8742  difelfznle  8743
  Copyright terms: Public domain W3C validator