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Theorem uzsubsubfz 8681
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz  L  ZZ>= `  M  N  ZZ>= `  L  N  -  L  -  M  M ... N

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 8255 . . 3  L  ZZ>= `  M  M  ZZ  L  ZZ  M  <_  L
2 eluz2 8255 . . . 4  N  ZZ>= `  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N
3 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  M  ZZ
4 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14  L  ZZ  N  ZZ  N  ZZ
54adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  N  ZZ
6 zsubcl 8062 . . . . . . . . . . . . . . 15  L  ZZ  M  ZZ  L  -  M  ZZ
76adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . 14  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  L  -  M  ZZ
85, 7zsubcld 8141 . . . . . . . . . . . . 13  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  N  -  L  -  M  ZZ
93, 5, 83jca 1083 . . . . . . . . . . . 12  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  N  -  L  -  M  ZZ
109ex 108 . . . . . . . . . . 11  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  N  -  L  -  M  ZZ
11103adant3 923 . . . . . . . . . 10  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  N  -  L  -  M  ZZ
1211com12 27 . . . . . . . . 9  M  ZZ  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  ZZ  N  ZZ  N  -  L  -  M  ZZ
1312adantr 261 . . . . . . . 8  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  ZZ  N  ZZ  N  -  L  -  M  ZZ
1413imp 115 . . . . . . 7  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  ZZ  N  ZZ  N  -  L  -  M  ZZ
15 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  N  ZZ  N  RR
1615adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  L  ZZ  N  ZZ  N  RR
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  M  <_  L  N  RR
18 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  L  ZZ  L  RR
1918adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  L  ZZ  N  ZZ  L  RR
2019adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  M  <_  L  L  RR
2117, 20subge0d 7321 . . . . . . . . . . . . . 14  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  M  <_  L  0  <_  N  -  L  L  <_  N
2221exbiri 364 . . . . . . . . . . . . 13  L  ZZ  N  ZZ  M  ZZ  M  <_  L  L  <_  N  0  <_  N  -  L
2322com23 72 . . . . . . . . . . . 12  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  ZZ  M  <_  L  0  <_  N  -  L
24233impia 1100 . . . . . . . . . . 11  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  ZZ  M  <_  L  0  <_  N  -  L
2524impcom 116 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  0  <_  N  -  L
26 zre 8025 . . . . . . . . . . . . 13  M  ZZ  M  RR
2726adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  M  ZZ  M  <_  L 
M  RR
2827adantr 261 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  RR
29 resubcl 7071 . . . . . . . . . . . . . 14  N  RR  L  RR  N  -  L  RR
3015, 18, 29syl2anr 274 . . . . . . . . . . . . 13  L  ZZ  N  ZZ  N  -  L  RR
31303adant3 923 . . . . . . . . . . . 12  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  -  L  RR
3231adantl 262 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  -  L  RR
3328, 32addge02d 7320 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  0  <_  N  -  L  M  <_  N  -  L  +  M
3425, 33mpbid 135 . . . . . . . . 9  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  <_  N  -  L  +  M
35 zcn 8026 . . . . . . . . . . . 12  N  ZZ  N  CC
36353ad2ant2 925 . . . . . . . . . . 11  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  CC
3736adantl 262 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  CC
38 zcn 8026 . . . . . . . . . . . 12  L  ZZ  L  CC
39383ad2ant1 924 . . . . . . . . . . 11  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  L  CC
4039adantl 262 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  L  CC
41 zcn 8026 . . . . . . . . . . . 12  M  ZZ  M  CC
4241adantr 261 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ  M  <_  L 
M  CC
4342adantr 261 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  CC
4437, 40, 43subsubd 7146 . . . . . . . . 9  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  -  L  -  M  N  -  L  +  M
4534, 44breqtrrd 3781 . . . . . . . 8  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  <_  N  -  L  -  M
46183ad2ant1 924 . . . . . . . . . . . . 13  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  L  RR
47 subge0 7265 . . . . . . . . . . . . 13  L  RR  M  RR  0  <_  L  -  M  M  <_  L
4846, 26, 47syl2anr 274 . . . . . . . . . . . 12  M  ZZ  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  0  <_  L  -  M  M  <_  L
4948exbiri 364 . . . . . . . . . . 11  M  ZZ  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  <_  L  0  <_  L  -  M
5049com23 72 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  0  <_  L  -  M
5150imp31 243 . . . . . . . . 9  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  0  <_  L  -  M
52153ad2ant2 925 . . . . . . . . . . 11  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  RR
5352adantl 262 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  RR
54 resubcl 7071 . . . . . . . . . . 11  L  RR  M  RR  L  -  M  RR
5546, 27, 54syl2anr 274 . . . . . . . . . 10  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  L  -  M  RR
5653, 55subge02d 7323 . . . . . . . . 9  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  0  <_  L  -  M  N  -  L  -  M  <_  N
5751, 56mpbid 135 . . . . . . . 8  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  -  L  -  M  <_  N
5845, 57jca 290 . . . . . . 7  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  M  <_  N  -  L  -  M  N  -  L  -  M  <_  N
59 elfz2 8651 . . . . . . 7  N  -  L  -  M  M ... N  M  ZZ  N  ZZ  N  -  L  -  M  ZZ  M  <_  N  -  L  -  M  N  -  L  -  M  <_  N
6014, 58, 59sylanbrc 394 . . . . . 6  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  -  L  -  M  M ... N
6160ex 108 . . . . 5  M  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  -  L  -  M  M ... N
62613adant2 922 . . . 4  M  ZZ  L  ZZ  M  <_  L  L  ZZ  N  ZZ  L  <_  N  N  -  L  -  M  M ... N
632, 62syl5bi 141 . . 3  M  ZZ  L  ZZ  M  <_  L  N  ZZ>= `  L  N  -  L  -  M  M ... N
641, 63sylbi 114 . 2  L  ZZ>= `  M  N  ZZ>= `  L  N  -  L  -  M  M ... N
6564imp 115 1  L  ZZ>= `  M  N  ZZ>= `  L  N  -  L  -  M  M ... N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711    + caddc 6714    <_ cle 6858    - cmin 6979   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  8682
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