Theorem uzsubsubfz 8681

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	|- (( L e. ( ZZ>= ` M) /\ N e. ( ZZ>= ` L)) -> ( N - ( L - M)) e. ( M ... N))

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 8255	. . 3 |- ( L e. ( ZZ>= ` M) <-> ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L))
2		eluz2 8255	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` L) <-> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N))
3		simpr 103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( L e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ M e. ZZ) -> M e. ZZ)
4		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ) -> N e. ZZ)
5	4	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( L e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ M e. ZZ) -> N e. ZZ)
6		zsubcl 8062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (( L e. ZZ /\ M e. ZZ) -> ( L - M) e. ZZ)
7	6	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((( L e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ M e. ZZ) -> ( L - M) e. ZZ)
8	5, 7	zsubcld 8141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( L e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ M e. ZZ) -> ( N - ( L - M)) e. ZZ)
9	3, 5, 8	3jca 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ((( L e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ M e. ZZ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M)) e. ZZ))
10	9	ex 108	. . . . . . . . . . 11 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M)) e. ZZ)))
11	10	3adant3 923	. . . . . . . . . 10 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M)) e. ZZ)))
12	11	com12 27	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M)) e. ZZ)))
13	12	adantr 261	. . . . . . . 8 |- (( M e. ZZ /\ M <_ L) -> (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M)) e. ZZ)))
14	13	imp 115	. . . . . . 7 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M)) e. ZZ))
15		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. RR)
16	15	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ) -> N e. RR)
17	16	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((( L e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L)) -> N e. RR)
18		zre 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L e. ZZ -> L e. RR)
19	18	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ) -> L e. RR)
20	19	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((( L e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L)) -> L e. RR)
21	17, 20	subge0d 7321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((( L e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L)) -> ( 0 <_ ( N - L) <-> L <_ N))
22	21	exbiri 364	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (( M e. ZZ /\ M <_ L) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L))))
23	22	com23 72	. . . . . . . . . . . 12 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ( L <_ N -> (( M e. ZZ /\ M <_ L) -> 0 <_ ( N - L))))
24	23	3impia 1100	. . . . . . . . . . 11 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> (( M e. ZZ /\ M <_ L) -> 0 <_ ( N - L)))
25	24	impcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> 0 <_ ( N - L))
26		zre 8025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. RR)
27	26	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- (( M e. ZZ /\ M <_ L) -> M e. RR)
28	27	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> M e. RR)
29		resubcl 7071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( N e. RR /\ L e. RR) -> ( N - L) e. RR)
30	15, 18, 29	syl2anr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ( N - L) e. RR)
31	30	3adant3 923	. . . . . . . . . . . 12 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> ( N - L) e. RR)
32	31	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( N - L) e. RR)
33	28, 32	addge02d 7320	. . . . . . . . . 10 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( 0 <_ ( N - L) <-> M <_ (( N - L) + M)))
34	25, 33	mpbid 135	. . . . . . . . 9 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> M <_ (( N - L) + M))
35		zcn 8026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC)
36	35	3ad2ant2 925	. . . . . . . . . . 11 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> N e. CC)
37	36	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> N e. CC)
38		zcn 8026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ZZ -> L e. CC)
39	38	3ad2ant1 924	. . . . . . . . . . 11 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> L e. CC)
40	39	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> L e. CC)
41		zcn 8026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. CC)
42	41	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- (( M e. ZZ /\ M <_ L) -> M e. CC)
43	42	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> M e. CC)
44	37, 40, 43	subsubd 7146	. . . . . . . . 9 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( N - ( L - M)) = (( N - L) + M))
45	34, 44	breqtrrd 3781	. . . . . . . 8 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> M <_ ( N - ( L - M)))
46	18	3ad2ant1 924	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> L e. RR)
47		subge0 7265	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( L e. RR /\ M e. RR) -> ( 0 <_ ( L - M) <-> M <_ L))
48	46, 26, 47	syl2anr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- (( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( 0 <_ ( L - M) <-> M <_ L))
49	48	exbiri 364	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> ( M <_ L -> 0 <_ ( L - M))))
50	49	com23 72	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M <_ L -> (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> 0 <_ ( L - M))))
51	50	imp31 243	. . . . . . . . 9 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> 0 <_ ( L - M))
52	15	3ad2ant2 925	. . . . . . . . . . 11 |- (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> N e. RR)
53	52	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> N e. RR)
54		resubcl 7071	. . . . . . . . . . 11 |- (( L e. RR /\ M e. RR) -> ( L - M) e. RR)
55	46, 27, 54	syl2anr 274	. . . . . . . . . 10 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( L - M) e. RR)
56	53, 55	subge02d 7323	. . . . . . . . 9 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( 0 <_ ( L - M) <-> ( N - ( L - M)) <_ N))
57	51, 56	mpbid 135	. . . . . . . 8 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( N - ( L - M)) <_ N)
58	45, 57	jca 290	. . . . . . 7 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( M <_ ( N - ( L - M)) /\ ( N - ( L - M)) <_ N))
59		elfz2 8651	. . . . . . 7 |- (( N - ( L - M)) e. ( M ... N) <-> (( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M)) e. ZZ) /\ ( M <_ ( N - ( L - M)) /\ ( N - ( L - M)) <_ N)))
60	14, 58, 59	sylanbrc 394	. . . . . 6 |- ((( M e. ZZ /\ M <_ L) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N)) -> ( N - ( L - M)) e. ( M ... N))
61	60	ex 108	. . . . 5 |- (( M e. ZZ /\ M <_ L) -> (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> ( N - ( L - M)) e. ( M ... N)))
62	61	3adant2 922	. . . 4 |- (( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L) -> (( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N) -> ( N - ( L - M)) e. ( M ... N)))
63	2, 62	syl5bi 141	. . 3 |- (( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L) -> ( N e. ( ZZ>= ` L) -> ( N - ( L - M)) e. ( M ... N)))
64	1, 63	sylbi 114	. 2 |- ( L e. ( ZZ>= ` M) -> ( N e. ( ZZ>= ` L) -> ( N - ( L - M)) e. ( M ... N)))
65	64	imp 115	1 |- (( L e. ( ZZ>= ` M) /\ N e. ( ZZ>= ` L)) -> ( N - ( L - M)) e. ( M ... N))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   e. wcel 1390   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711   + caddc 6714   <_ cle 6858   - cmin 6979   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  8682