ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemupu Unicode version

Theorem cauappcvgprlemupu 6621
Description: Lemma for cauappcvgpr 6634. The upper cut of the putative limit is upper. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  F : Q. --> Q.
cauappcvgpr.app  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
cauappcvgpr.bnd  p  Q.  <Q  F `  p
cauappcvgpr.lim  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemupu  s  <Q  r  s  2nd `  L  r  2nd `  L
Distinct variable groups:   , p    L, p, q   , p, q    L, r, s   , s, p    F, l,, p, q, r, s   , r,
s
Allowed substitution hints:   (, l)   (, r, q, l)    L(, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemupu
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6349 . . . . 5  <Q  C_  Q.  X.  Q.
21brel 4335 . . . 4  s 
<Q  r 
s  Q.  r  Q.
32simprd 107 . . 3  s 
<Q  r  r  Q.
433ad2ant2 925 . 2  s  <Q  r  s  2nd `  L  r  Q.
5 breq2 3759 . . . . . . 7  s  F `  q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  q  <Q  s
65rexbidv 2321 . . . . . 6  s  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  s
7 cauappcvgpr.lim . . . . . . . 8  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
87fveq2i 5124 . . . . . . 7  2nd `  L  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `
 q  +Q  q  <Q  } >.
9 nqex 6347 . . . . . . . . 9  Q.  _V
109rabex 3892 . . . . . . . 8  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q }  _V
119rabex 3892 . . . . . . . 8  {  Q.  |  q  Q.  F `
 q  +Q  q  <Q  }  _V
1210, 11op2nd 5716 . . . . . . 7  2nd `  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `
 q  +Q  q  <Q  } >.  {  Q.  |  q  Q.  F `
 q  +Q  q  <Q  }
138, 12eqtri 2057 . . . . . 6  2nd `  L  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  }
146, 13elrab2 2694 . . . . 5  s  2nd `  L  s  Q.  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  s
1514simprbi 260 . . . 4  s  2nd `  L  q 
Q.  F `
 q  +Q  q  <Q  s
16153ad2ant3 926 . . 3  s  <Q  r  s  2nd `  L  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  s
17 ltsonq 6382 . . . . . . 7  <Q  Or  Q.
1817, 1sotri 4663 . . . . . 6  F `  q  +Q  q  <Q  s  s  <Q  r  F `  q  +Q  q  <Q  r
1918expcom 109 . . . . 5  s 
<Q  r  F `  q  +Q  q  <Q  s  F `  q  +Q  q  <Q  r
20193ad2ant2 925 . . . 4  s  <Q  r  s  2nd `  L  F `
 q  +Q  q  <Q  s  F `  q  +Q  q  <Q  r
2120reximdv 2414 . . 3  s  <Q  r  s  2nd `  L  q 
Q.  F `
 q  +Q  q  <Q  s  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  r
2216, 21mpd 13 . 2  s  <Q  r  s  2nd `  L  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  r
23 breq2 3759 . . . 4  r  F `  q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  q  <Q  r
2423rexbidv 2321 . . 3  r  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  r
2524, 13elrab2 2694 . 2  r  2nd `  L  r  Q.  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  r
264, 22, 25sylanbrc 394 1  s  <Q  r  s  2nd `  L  r  2nd `  L
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   {crab 2304   <.cop 3370   class class class wbr 3755   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  6622
  Copyright terms: Public domain W3C validator