ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uz11 Structured version   GIF version

Theorem uz11 8271
Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
uz11 (𝑀 ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11
StepHypRef Expression
1 uzid 8263 . . . . 5 (𝑀 ℤ → 𝑀 (ℤ𝑀))
2 eleq2 2098 . . . . . 6 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 (ℤ𝑁)))
3 eluzel2 8254 . . . . . 6 (𝑀 (ℤ𝑁) → 𝑁 ℤ)
42, 3syl6bi 152 . . . . 5 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 (ℤ𝑀) → 𝑁 ℤ))
51, 4mpan9 265 . . . 4 ((𝑀 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑁 ℤ)
6 uzid 8263 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ℤ → 𝑁 (ℤ𝑁))
7 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 (ℤ𝑁)))
86, 7syl5ibr 145 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ℤ → 𝑁 (ℤ𝑀)))
9 eluzle 8261 . . . . . . . . . 10 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
108, 9syl6 29 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ℤ → 𝑀𝑁))
111, 2syl5ib 143 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ℤ → 𝑀 (ℤ𝑁)))
12 eluzle 8261 . . . . . . . . . 10 (𝑀 (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
1311, 12syl6 29 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ℤ → 𝑁𝑀))
1410, 13anim12d 318 . . . . . . . 8 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → ((𝑁 𝑀 ℤ) → (𝑀𝑁 𝑁𝑀)))
1514impl 362 . . . . . . 7 ((((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) 𝑁 ℤ) 𝑀 ℤ) → (𝑀𝑁 𝑁𝑀))
1615ancoms 255 . . . . . 6 ((𝑀 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) 𝑁 ℤ)) → (𝑀𝑁 𝑁𝑀))
1716anassrs 380 . . . . 5 (((𝑀 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) 𝑁 ℤ) → (𝑀𝑁 𝑁𝑀))
18 zre 8025 . . . . . . 7 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℝ)
19 zre 8025 . . . . . . 7 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
20 letri3 6896 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁 𝑁𝑀)))
2118, 19, 20syl2an 273 . . . . . 6 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁 𝑁𝑀)))
2221adantlr 446 . . . . 5 (((𝑀 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) 𝑁 ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁 𝑁𝑀)))
2317, 22mpbird 156 . . . 4 (((𝑀 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) 𝑁 ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
245, 23mpdan 398 . . 3 ((𝑀 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
2524ex 108 . 2 (𝑀 ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26 fveq2 5121 . 2 (𝑀 = 𝑁 → (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁))
2725, 26impbid1 130 1 (𝑀 ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  cfv 4845  cr 6710  cle 6858  cz 8021  cuz 8249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-apti 6798
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250
This theorem is referenced by:  fzopth  8694
  Copyright terms: Public domain W3C validator