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Theorem ssrel2 4373
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. This version of ssrel 4371 is restricted to the relation's domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssrel2 (𝑅 ⊆ (A × B) → (𝑅𝑆x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝑅,y   x,𝑆,y

Proof of Theorem ssrel2
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . . 4 (𝑅𝑆 → (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆))
21a1d 22 . . 3 (𝑅𝑆 → ((x A y B) → (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆)))
32ralrimivv 2394 . 2 (𝑅𝑆x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆))
4 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12 (z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅 ↔ ⟨x, y 𝑅))
5 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12 (z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑆 ↔ ⟨x, y 𝑆))
64, 5imbi12d 223 . . . . . . . . . . 11 (z = ⟨x, y⟩ → ((z 𝑅z 𝑆) ↔ (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆)))
76biimprcd 149 . . . . . . . . . 10 ((⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆) → (z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)))
87ralimi 2378 . . . . . . . . 9 (y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆) → y B (z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)))
98ralimi 2378 . . . . . . . 8 (x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆) → x A y B (z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)))
10 r19.23v 2419 . . . . . . . . . 10 (y B (z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)) ↔ (y B z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)))
1110ralbii 2324 . . . . . . . . 9 (x A y B (z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)) ↔ x A (y B z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)))
12 r19.23v 2419 . . . . . . . . 9 (x A (y B z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)) ↔ (x A y B z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)))
1311, 12bitri 173 . . . . . . . 8 (x A y B (z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)) ↔ (x A y B z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)))
149, 13sylib 127 . . . . . . 7 (x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆) → (x A y B z = ⟨x, y⟩ → (z 𝑅z 𝑆)))
1514com23 72 . . . . . 6 (x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆) → (z 𝑅 → (x A y B z = ⟨x, y⟩ → z 𝑆)))
1615a2d 23 . . . . 5 (x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆) → ((z 𝑅x A y B z = ⟨x, y⟩) → (z 𝑅z 𝑆)))
1716alimdv 1756 . . . 4 (x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆) → (z(z 𝑅x A y B z = ⟨x, y⟩) → z(z 𝑅z 𝑆)))
18 dfss2 2928 . . . . 5 (𝑅 ⊆ (A × B) ↔ z(z 𝑅z (A × B)))
19 elxp2 4306 . . . . . . 7 (z (A × B) ↔ x A y B z = ⟨x, y⟩)
2019imbi2i 215 . . . . . 6 ((z 𝑅z (A × B)) ↔ (z 𝑅x A y B z = ⟨x, y⟩))
2120albii 1356 . . . . 5 (z(z 𝑅z (A × B)) ↔ z(z 𝑅x A y B z = ⟨x, y⟩))
2218, 21bitri 173 . . . 4 (𝑅 ⊆ (A × B) ↔ z(z 𝑅x A y B z = ⟨x, y⟩))
23 dfss2 2928 . . . 4 (𝑅𝑆z(z 𝑅z 𝑆))
2417, 22, 233imtr4g 194 . . 3 (x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆) → (𝑅 ⊆ (A × B) → 𝑅𝑆))
2524com12 27 . 2 (𝑅 ⊆ (A × B) → (x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆) → 𝑅𝑆))
263, 25impbid2 131 1 (𝑅 ⊆ (A × B) → (𝑅𝑆x A y B (⟨x, y 𝑅 → ⟨x, y 𝑆)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  wss 2911  cop 3370   × cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294
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