ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssrel Structured version   GIF version

Theorem ssrel 4371
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrel (Rel A → (ABxy(⟨x, y A → ⟨x, y B)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem ssrel
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . 3 (AB → (⟨x, y A → ⟨x, y B))
21alrimivv 1752 . 2 (ABxy(⟨x, y A → ⟨x, y B))
3 eleq1 2097 . . . . . . . . . . 11 (z = ⟨x, y⟩ → (z A ↔ ⟨x, y A))
4 eleq1 2097 . . . . . . . . . . 11 (z = ⟨x, y⟩ → (z B ↔ ⟨x, y B))
53, 4imbi12d 223 . . . . . . . . . 10 (z = ⟨x, y⟩ → ((z Az B) ↔ (⟨x, y A → ⟨x, y B)))
65biimprcd 149 . . . . . . . . 9 ((⟨x, y A → ⟨x, y B) → (z = ⟨x, y⟩ → (z Az B)))
762alimi 1342 . . . . . . . 8 (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) → xy(z = ⟨x, y⟩ → (z Az B)))
8 19.23vv 1761 . . . . . . . 8 (xy(z = ⟨x, y⟩ → (z Az B)) ↔ (xy z = ⟨x, y⟩ → (z Az B)))
97, 8sylib 127 . . . . . . 7 (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) → (xy z = ⟨x, y⟩ → (z Az B)))
109com23 72 . . . . . 6 (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) → (z A → (xy z = ⟨x, y⟩ → z B)))
1110a2d 23 . . . . 5 (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) → ((z Axy z = ⟨x, y⟩) → (z Az B)))
1211alimdv 1756 . . . 4 (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) → (z(z Axy z = ⟨x, y⟩) → z(z Az B)))
13 df-rel 4295 . . . . 5 (Rel AA ⊆ (V × V))
14 dfss2 2928 . . . . 5 (A ⊆ (V × V) ↔ z(z Az (V × V)))
15 elvv 4345 . . . . . . 7 (z (V × V) ↔ xy z = ⟨x, y⟩)
1615imbi2i 215 . . . . . 6 ((z Az (V × V)) ↔ (z Axy z = ⟨x, y⟩))
1716albii 1356 . . . . 5 (z(z Az (V × V)) ↔ z(z Axy z = ⟨x, y⟩))
1813, 14, 173bitri 195 . . . 4 (Rel Az(z Axy z = ⟨x, y⟩))
19 dfss2 2928 . . . 4 (ABz(z Az B))
2012, 18, 193imtr4g 194 . . 3 (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) → (Rel AAB))
2120com12 27 . 2 (Rel A → (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) → AB))
222, 21impbid2 131 1 (Rel A → (ABxy(⟨x, y A → ⟨x, y B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  wss 2911  cop 3370   × cxp 4286  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295
This theorem is referenced by:  eqrel  4372  relssi  4374  relssdv  4375  cotr  4649  cnvsym  4651  intasym  4652  intirr  4654  codir  4656  qfto  4657
  Copyright terms: Public domain W3C validator