ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssrel2 Structured version   Unicode version

Theorem ssrel2 4373
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. This version of ssrel 4371 is restricted to the relation's domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssrel2  R 
C_  X.  R  C_  S  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , R,   , S,

Proof of Theorem ssrel2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . . 4  R 
C_  S  <. ,  >.  R  <. ,  >.  S
21a1d 22 . . 3  R 
C_  S  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S
32ralrimivv 2394 . 2  R 
C_  S  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S
4 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>.  R  <. , 
>.  R
5 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>.  S  <. , 
>.  S
64, 5imbi12d 223 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  R  S  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S
76biimprcd 149 . . . . . . . . . 10 
<. ,  >.  R  <. ,  >.  S 
<. ,  >.  R  S
87ralimi 2378 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  R  <. ,  >.  S 
<. ,  >.  R  S
98ralimi 2378 . . . . . . . 8  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S  <. ,  >.  R  S
10 r19.23v 2419 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  R  S  <. , 
>.  R  S
1110ralbii 2324 . . . . . . . . 9 
<. ,  >.  R  S  <. ,  >.  R  S
12 r19.23v 2419 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  R  S  <. ,  >.  R  S
1311, 12bitri 173 . . . . . . . 8 
<. ,  >.  R  S  <. ,  >.  R  S
149, 13sylib 127 . . . . . . 7  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S  <. ,  >.  R  S
1514com23 72 . . . . . 6  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S  R  <. ,  >.  S
1615a2d 23 . . . . 5  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S  R  <. ,  >.  R  S
1716alimdv 1756 . . . 4  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S  R  <. ,  >.  R  S
18 dfss2 2928 . . . . 5  R 
C_  X.  R  X.
19 elxp2 4306 . . . . . . 7  X.  <. ,  >.
2019imbi2i 215 . . . . . 6  R  X.  R  <. ,  >.
2120albii 1356 . . . . 5  R  X.  R  <. ,  >.
2218, 21bitri 173 . . . 4  R 
C_  X.  R  <. ,  >.
23 dfss2 2928 . . . 4  R 
C_  S  R  S
2417, 22, 233imtr4g 194 . . 3  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S  R  C_  X. 
R  C_  S
2524com12 27 . 2  R 
C_  X. 
<. ,  >.  R  <. ,  >.  S  R  C_  S
263, 25impbid2 131 1  R 
C_  X.  R  C_  S  <. ,  >.  R  <. , 
>.  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301    C_ wss 2911   <.cop 3370    X. cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator