Theorem ssrel2 4430

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. This version of ssrel 4428 is restricted to the relation's domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssrel2	|- ( R C_ ( A X. B ) -> ( R C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y   x, S, y

Proof of Theorem ssrel2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2939	. . . 4 |- ( R C_ S -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) )
2	1	a1d 22	. . 3 |- ( R C_ S -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )
3	2	ralrimivv 2400	. 2 |- ( R C_ S -> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) )
4		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
5		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. S <-> <. x , y >. e. S ) )
6	4, 5	imbi12d 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( z e. R -> z e. S ) <-> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )
7	6	biimprcd 149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
8	7	ralimi 2384	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
9	8	ralimi 2384	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
10		r19.23v 2425	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
11	10	ralbii 2330	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> A. x e. A ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
12		r19.23v 2425	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
13	11, 12	bitri 173	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
14	9, 13	sylib 127	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
15	14	com23 72	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( z e. R -> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> z e. S ) ) )
16	15	a2d 23	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
17	16	alimdv 1759	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) -> A. z ( z e. R -> z e. S ) ) )
18		dfss2 2934	. . . . 5 |- ( R C_ ( A X. B ) <-> A. z ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) )
19		elxp2 4363	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A X. B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. )
20	19	imbi2i 215	. . . . . 6 |- ( ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) <-> ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
21	20	albii 1359	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) <-> A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
22	18, 21	bitri 173	. . . 4 |- ( R C_ ( A X. B ) <-> A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
23		dfss2 2934	. . . 4 |- ( R C_ S <-> A. z ( z e. R -> z e. S ) )
24	17, 22, 23	3imtr4g 194	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( R C_ ( A X. B ) -> R C_ S ) )
25	24	com12 27	. 2 |- ( R C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> R C_ S ) )
26	3, 25	impbid2 131	1 |- ( R C_ ( A X. B ) -> ( R C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   C_ wss 2917   <.cop 3378   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351

This theorem is referenced by: (None)