ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssrel Unicode version

Theorem ssrel 4371
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrel  Rel  C_ 
<. ,  >.  <. ,  >.
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem ssrel
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . 3 
C_  <. ,  >.  <. ,  >.
21alrimivv 1752 . 2 
C_  <. ,  >.  <. , 
>.
3 eleq1 2097 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  <. , 
>.
4 eleq1 2097 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  <. , 
>.
53, 4imbi12d 223 . . . . . . . . . 10  <. , 
>.  <. ,  >.  <. , 
>.
65biimprcd 149 . . . . . . . . 9 
<. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.
762alimi 1342 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.
8 19.23vv 1761 . . . . . . . 8  <. , 
>. 
<. ,  >.
97, 8sylib 127 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.
109com23 72 . . . . . 6  <. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.
1110a2d 23 . . . . 5  <. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.
1211alimdv 1756 . . . 4  <. ,  >.  <. , 
>. 
<. ,  >.
13 df-rel 4295 . . . . 5  Rel  C_  _V  X.  _V
14 dfss2 2928 . . . . 5 
C_  _V  X.  _V  _V 
X.  _V
15 elvv 4345 . . . . . . 7  _V  X.  _V  <. ,  >.
1615imbi2i 215 . . . . . 6  _V  X.  _V 
<. ,  >.
1716albii 1356 . . . . 5  _V 
X.  _V  <. ,  >.
1813, 14, 173bitri 195 . . . 4  Rel  <. ,  >.
19 dfss2 2928 . . . 4 
C_
2012, 18, 193imtr4g 194 . . 3  <. ,  >.  <. , 
>.  Rel  C_
2120com12 27 . 2  Rel  <. ,  >.  <. , 
>.  C_
222, 21impbid2 131 1  Rel  C_ 
<. ,  >.  <. ,  >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   <.cop 3370    X. cxp 4286   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295
This theorem is referenced by:  eqrel  4372  relssi  4374  relssdv  4375  cotr  4649  cnvsym  4651  intasym  4652  intirr  4654  codir  4656  qfto  4657
  Copyright terms: Public domain W3C validator