ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrel Structured version   GIF version

Theorem eqrel 4372
Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
eqrel ((Rel A Rel B) → (A = Bxy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eqrel
StepHypRef Expression
1 ssrel 4371 . . 3 (Rel A → (ABxy(⟨x, y A → ⟨x, y B)))
2 ssrel 4371 . . 3 (Rel B → (BAxy(⟨x, y B → ⟨x, y A)))
31, 2bi2anan9 538 . 2 ((Rel A Rel B) → ((AB BA) ↔ (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) xy(⟨x, y B → ⟨x, y A))))
4 eqss 2954 . 2 (A = B ↔ (AB BA))
5 2albiim 1374 . 2 (xy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B) ↔ (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) xy(⟨x, y B → ⟨x, y A)))
63, 4, 53bitr4g 212 1 ((Rel A Rel B) → (A = Bxy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  wss 2911  cop 3370  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295
This theorem is referenced by:  eqrelriv  4376  eqrelrdv  4379  eqbrrdv  4380  eqrelrdv2  4382  opabid2  4410  reldm0  4496  iss  4597  asymref  4653  funssres  4885  fsn  5278
  Copyright terms: Public domain W3C validator