ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrel Structured version   GIF version

Theorem eqrel 4352
Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
eqrel ((Rel A Rel B) → (A = Bxy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eqrel
StepHypRef Expression
1 ssrel 4351 . . 3 (Rel A → (ABxy(⟨x, y A → ⟨x, y B)))
2 ssrel 4351 . . 3 (Rel B → (BAxy(⟨x, y B → ⟨x, y A)))
31, 2bi2anan9 526 . 2 ((Rel A Rel B) → ((AB BA) ↔ (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) xy(⟨x, y B → ⟨x, y A))))
4 eqss 2933 . 2 (A = B ↔ (AB BA))
5 2albiim 1354 . 2 (xy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B) ↔ (xy(⟨x, y A → ⟨x, y B) xy(⟨x, y B → ⟨x, y A)))
63, 4, 53bitr4g 212 1 ((Rel A Rel B) → (A = Bxy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1224   = wceq 1226   wcel 1370  wss 2890  cop 3349  Rel wrel 4273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-opab 3789  df-xp 4274  df-rel 4275
This theorem is referenced by:  eqrelriv  4356  eqrelrdv  4359  eqbrrdv  4360  eqrelrdv2  4362  opabid2  4390  reldm0  4476  iss  4577  asymref  4633  funssres  4864  fsn  5256
  Copyright terms: Public domain W3C validator