ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  muladd11 Structured version   GIF version

Theorem muladd11 6903
Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
muladd11 ((A B ℂ) → ((1 + A) · (1 + B)) = ((1 + A) + (B + (A · B))))

Proof of Theorem muladd11
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 6736 . . . 4 1
2 addcl 6764 . . . 4 ((1 A ℂ) → (1 + A) ℂ)
31, 2mpan 400 . . 3 (A ℂ → (1 + A) ℂ)
4 adddi 6771 . . . 4 (((1 + A) 1 B ℂ) → ((1 + A) · (1 + B)) = (((1 + A) · 1) + ((1 + A) · B)))
51, 4mp3an2 1219 . . 3 (((1 + A) B ℂ) → ((1 + A) · (1 + B)) = (((1 + A) · 1) + ((1 + A) · B)))
63, 5sylan 267 . 2 ((A B ℂ) → ((1 + A) · (1 + B)) = (((1 + A) · 1) + ((1 + A) · B)))
73mulid1d 6802 . . . 4 (A ℂ → ((1 + A) · 1) = (1 + A))
87adantr 261 . . 3 ((A B ℂ) → ((1 + A) · 1) = (1 + A))
9 adddir 6776 . . . . 5 ((1 A B ℂ) → ((1 + A) · B) = ((1 · B) + (A · B)))
101, 9mp3an1 1218 . . . 4 ((A B ℂ) → ((1 + A) · B) = ((1 · B) + (A · B)))
11 mulid2 6783 . . . . . 6 (B ℂ → (1 · B) = B)
1211adantl 262 . . . . 5 ((A B ℂ) → (1 · B) = B)
1312oveq1d 5470 . . . 4 ((A B ℂ) → ((1 · B) + (A · B)) = (B + (A · B)))
1410, 13eqtrd 2069 . . 3 ((A B ℂ) → ((1 + A) · B) = (B + (A · B)))
158, 14oveq12d 5473 . 2 ((A B ℂ) → (((1 + A) · 1) + ((1 + A) · B)) = ((1 + A) + (B + (A · B))))
166, 15eqtrd 2069 1 ((A B ℂ) → ((1 + A) · (1 + B)) = ((1 + A) + (B + (A · B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-mulcl 6741  ax-mulcom 6744  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-1rid 6750  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458
This theorem is referenced by:  bernneq  8982
  Copyright terms: Public domain W3C validator