ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imaco Structured version   GIF version

Theorem imaco 4769
Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
imaco ((AB) “ 𝐶) = (A “ (B𝐶))

Proof of Theorem imaco
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2306 . . 3 (y (B𝐶)yAxy(y (B𝐶) yAx))
2 vex 2554 . . . 4 x V
32elima 4616 . . 3 (x (A “ (B𝐶)) ↔ y (B𝐶)yAx)
4 rexcom4 2571 . . . . 5 (z 𝐶 y(zBy yAx) ↔ yz 𝐶 (zBy yAx))
5 r19.41v 2460 . . . . . 6 (z 𝐶 (zBy yAx) ↔ (z 𝐶 zBy yAx))
65exbii 1493 . . . . 5 (yz 𝐶 (zBy yAx) ↔ y(z 𝐶 zBy yAx))
74, 6bitri 173 . . . 4 (z 𝐶 y(zBy yAx) ↔ y(z 𝐶 zBy yAx))
82elima 4616 . . . . 5 (x ((AB) “ 𝐶) ↔ z 𝐶 z(AB)x)
9 vex 2554 . . . . . . 7 z V
109, 2brco 4449 . . . . . 6 (z(AB)xy(zBy yAx))
1110rexbii 2325 . . . . 5 (z 𝐶 z(AB)xz 𝐶 y(zBy yAx))
128, 11bitri 173 . . . 4 (x ((AB) “ 𝐶) ↔ z 𝐶 y(zBy yAx))
13 vex 2554 . . . . . . 7 y V
1413elima 4616 . . . . . 6 (y (B𝐶) ↔ z 𝐶 zBy)
1514anbi1i 431 . . . . 5 ((y (B𝐶) yAx) ↔ (z 𝐶 zBy yAx))
1615exbii 1493 . . . 4 (y(y (B𝐶) yAx) ↔ y(z 𝐶 zBy yAx))
177, 12, 163bitr4i 201 . . 3 (x ((AB) “ 𝐶) ↔ y(y (B𝐶) yAx))
181, 3, 173bitr4ri 202 . 2 (x ((AB) “ 𝐶) ↔ x (A “ (B𝐶)))
1918eqriv 2034 1 ((AB) “ 𝐶) = (A “ (B𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  cima 4291  ccom 4292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301
This theorem is referenced by:  fvco2  5185
  Copyright terms: Public domain W3C validator