ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imaco Structured version   GIF version

Theorem imaco 4753
Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
imaco ((AB) “ 𝐶) = (A “ (B𝐶))

Proof of Theorem imaco
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2290 . . 3 (y (B𝐶)yAxy(y (B𝐶) yAx))
2 vex 2538 . . . 4 x V
32elima 4600 . . 3 (x (A “ (B𝐶)) ↔ y (B𝐶)yAx)
4 rexcom4 2554 . . . . 5 (z 𝐶 y(zBy yAx) ↔ yz 𝐶 (zBy yAx))
5 r19.41v 2444 . . . . . 6 (z 𝐶 (zBy yAx) ↔ (z 𝐶 zBy yAx))
65exbii 1478 . . . . 5 (yz 𝐶 (zBy yAx) ↔ y(z 𝐶 zBy yAx))
74, 6bitri 173 . . . 4 (z 𝐶 y(zBy yAx) ↔ y(z 𝐶 zBy yAx))
82elima 4600 . . . . 5 (x ((AB) “ 𝐶) ↔ z 𝐶 z(AB)x)
9 vex 2538 . . . . . . 7 z V
109, 2brco 4433 . . . . . 6 (z(AB)xy(zBy yAx))
1110rexbii 2309 . . . . 5 (z 𝐶 z(AB)xz 𝐶 y(zBy yAx))
128, 11bitri 173 . . . 4 (x ((AB) “ 𝐶) ↔ z 𝐶 y(zBy yAx))
13 vex 2538 . . . . . . 7 y V
1413elima 4600 . . . . . 6 (y (B𝐶) ↔ z 𝐶 zBy)
1514anbi1i 434 . . . . 5 ((y (B𝐶) yAx) ↔ (z 𝐶 zBy yAx))
1615exbii 1478 . . . 4 (y(y (B𝐶) yAx) ↔ y(z 𝐶 zBy yAx))
177, 12, 163bitr4i 201 . . 3 (x ((AB) “ 𝐶) ↔ y(y (B𝐶) yAx))
181, 3, 173bitr4ri 202 . 2 (x ((AB) “ 𝐶) ↔ x (A “ (B𝐶)))
1918eqriv 2019 1 ((AB) “ 𝐶) = (A “ (B𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  wrex 2285   class class class wbr 3738  cima 4275  ccom 4276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-br 3739  df-opab 3793  df-xp 4278  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285
This theorem is referenced by:  fvco2  5167
  Copyright terms: Public domain W3C validator