ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvpr1g Structured version   GIF version

Theorem fvpr1g 5310
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr1g ((A 𝑉 𝐶 𝑊 AB) → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1g
StepHypRef Expression
1 df-pr 3374 . . . . 5 {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})
21fveq1i 5122 . . . 4 ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A)
3 necom 2283 . . . . 5 (ABBA)
4 fvunsng 5300 . . . . 5 ((A 𝑉 BA) → (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
53, 4sylan2b 271 . . . 4 ((A 𝑉 AB) → (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
62, 5syl5eq 2081 . . 3 ((A 𝑉 AB) → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
763adant2 922 . 2 ((A 𝑉 𝐶 𝑊 AB) → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
8 fvsng 5302 . . 3 ((A 𝑉 𝐶 𝑊) → ({⟨A, 𝐶⟩}‘A) = 𝐶)
983adant3 923 . 2 ((A 𝑉 𝐶 𝑊 AB) → ({⟨A, 𝐶⟩}‘A) = 𝐶)
107, 9eqtrd 2069 1 ((A 𝑉 𝐶 𝑊 AB) → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  cun 2909  {csn 3367  {cpr 3368  cop 3370  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  fvtp1g  5312
  Copyright terms: Public domain W3C validator