ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvpr1g Unicode version

Theorem fvpr1g 5367
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr1g  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  C )

Proof of Theorem fvpr1g
StepHypRef Expression
1 df-pr 3382 . . . . 5  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21fveq1i 5179 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )
3 necom 2289 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
4 fvunsng 5357 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  =/=  A )  -> 
( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
53, 4sylan2b 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  =/=  B )  -> 
( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
62, 5syl5eq 2084 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  ( {
<. A ,  C >. } `
 A ) )
763adant2 923 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  ( {
<. A ,  C >. } `
 A ) )
8 fvsng 5359 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. A ,  C >. } `  A
)  =  C )
983adant3 924 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. } `  A
)  =  C )
107, 9eqtrd 2072 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393    =/= wne 2204    u. cun 2915   {csn 3375   {cpr 3376   <.cop 3378   ` cfv 4902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-res 4357  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910
This theorem is referenced by:  fvtp1g  5369
  Copyright terms: Public domain W3C validator