ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funtp Structured version   GIF version

Theorem funtp 4895
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
funtp.1 A V
funtp.2 B V
funtp.3 𝐶 V
funtp.4 𝐷 V
funtp.5 𝐸 V
funtp.6 𝐹 V
Assertion
Ref Expression
funtp ((AB A𝐶 B𝐶) → Fun {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Proof of Theorem funtp
StepHypRef Expression
1 funtp.1 . . . . . 6 A V
2 funtp.2 . . . . . 6 B V
3 funtp.4 . . . . . 6 𝐷 V
4 funtp.5 . . . . . 6 𝐸 V
51, 2, 3, 4funpr 4894 . . . . 5 (AB → Fun {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩})
6 funtp.3 . . . . . 6 𝐶 V
7 funtp.6 . . . . . 6 𝐹 V
86, 7funsn 4891 . . . . 5 Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}
95, 8jctir 296 . . . 4 (AB → (Fun {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
103, 4dmprop 4738 . . . . . . 7 dom {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} = {A, B}
11 df-pr 3374 . . . . . . 7 {A, B} = ({A} ∪ {B})
1210, 11eqtri 2057 . . . . . 6 dom {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} = ({A} ∪ {B})
137dmsnop 4737 . . . . . 6 dom {⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐶}
1412, 13ineq12i 3130 . . . . 5 (dom {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = (({A} ∪ {B}) ∩ {𝐶})
15 disjsn2 3424 . . . . . . 7 (A𝐶 → ({A} ∩ {𝐶}) = ∅)
16 disjsn2 3424 . . . . . . 7 (B𝐶 → ({B} ∩ {𝐶}) = ∅)
1715, 16anim12i 321 . . . . . 6 ((A𝐶 B𝐶) → (({A} ∩ {𝐶}) = ∅ ({B} ∩ {𝐶}) = ∅))
18 undisj1 3273 . . . . . 6 ((({A} ∩ {𝐶}) = ∅ ({B} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({A} ∪ {B}) ∩ {𝐶}) = ∅)
1917, 18sylib 127 . . . . 5 ((A𝐶 B𝐶) → (({A} ∪ {B}) ∩ {𝐶}) = ∅)
2014, 19syl5eq 2081 . . . 4 ((A𝐶 B𝐶) → (dom {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅)
21 funun 4887 . . . 4 (((Fun {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}) (dom {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅) → Fun ({⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
229, 20, 21syl2an 273 . . 3 ((AB (A𝐶 B𝐶)) → Fun ({⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
23223impb 1099 . 2 ((AB A𝐶 B𝐶) → Fun ({⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
24 df-tp 3375 . . 3 {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
2524funeqi 4865 . 2 (Fun {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} ↔ Fun ({⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
2623, 25sylibr 137 1 ((AB A𝐶 B𝐶) → Fun {⟨A, 𝐷⟩, ⟨B, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  Vcvv 2551  cun 2909  cin 2910  c0 3218  {csn 3367  {cpr 3368  {ctp 3369  cop 3370  dom cdm 4288  Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  fntp  4899
  Copyright terms: Public domain W3C validator