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Theorem funimass4 5167
Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹A) ⊆ Bx A (𝐹x) B))
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐹

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 2928 . 2 ((𝐹A) ⊆ By(y (𝐹A) → y B))
2 eqcom 2039 . . . . . . . . . 10 (y = (𝐹x) ↔ (𝐹x) = y)
3 ssel 2933 . . . . . . . . . . . 12 (A ⊆ dom 𝐹 → (x Ax dom 𝐹))
4 funbrfvb 5159 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → ((𝐹x) = yx𝐹y))
54ex 108 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → (x dom 𝐹 → ((𝐹x) = yx𝐹y)))
63, 5syl9 66 . . . . . . . . . . 11 (A ⊆ dom 𝐹 → (Fun 𝐹 → (x A → ((𝐹x) = yx𝐹y))))
76imp31 243 . . . . . . . . . 10 (((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) x A) → ((𝐹x) = yx𝐹y))
82, 7syl5bb 181 . . . . . . . . 9 (((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) x A) → (y = (𝐹x) ↔ x𝐹y))
98rexbidva 2317 . . . . . . . 8 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → (x A y = (𝐹x) ↔ x A x𝐹y))
10 vex 2554 . . . . . . . . 9 y V
1110elima 4616 . . . . . . . 8 (y (𝐹A) ↔ x A x𝐹y)
129, 11syl6rbbr 188 . . . . . . 7 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → (y (𝐹A) ↔ x A y = (𝐹x)))
1312imbi1d 220 . . . . . 6 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → ((y (𝐹A) → y B) ↔ (x A y = (𝐹x) → y B)))
14 r19.23v 2419 . . . . . 6 (x A (y = (𝐹x) → y B) ↔ (x A y = (𝐹x) → y B))
1513, 14syl6bbr 187 . . . . 5 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → ((y (𝐹A) → y B) ↔ x A (y = (𝐹x) → y B)))
1615albidv 1702 . . . 4 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → (y(y (𝐹A) → y B) ↔ yx A (y = (𝐹x) → y B)))
1716ancoms 255 . . 3 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (y(y (𝐹A) → y B) ↔ yx A (y = (𝐹x) → y B)))
18 ralcom4 2570 . . . 4 (x A y(y = (𝐹x) → y B) ↔ yx A (y = (𝐹x) → y B))
19 ssel2 2934 . . . . . . . . 9 ((A ⊆ dom 𝐹 x A) → x dom 𝐹)
2019anim2i 324 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 (A ⊆ dom 𝐹 x A)) → (Fun 𝐹 x dom 𝐹))
21203impb 1099 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹 x A) → (Fun 𝐹 x dom 𝐹))
22 funfvex 5135 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
23 nfv 1418 . . . . . . . 8 y(𝐹x) B
24 eleq1 2097 . . . . . . . 8 (y = (𝐹x) → (y B ↔ (𝐹x) B))
2523, 24ceqsalg 2576 . . . . . . 7 ((𝐹x) V → (y(y = (𝐹x) → y B) ↔ (𝐹x) B))
2621, 22, 253syl 17 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹 x A) → (y(y = (𝐹x) → y B) ↔ (𝐹x) B))
27263expa 1103 . . . . 5 (((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) x A) → (y(y = (𝐹x) → y B) ↔ (𝐹x) B))
2827ralbidva 2316 . . . 4 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (x A y(y = (𝐹x) → y B) ↔ x A (𝐹x) B))
2918, 28syl5bbr 183 . . 3 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (yx A (y = (𝐹x) → y B) ↔ x A (𝐹x) B))
3017, 29bitrd 177 . 2 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (y(y (𝐹A) → y B) ↔ x A (𝐹x) B))
311, 30syl5bb 181 1 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹A) ⊆ Bx A (𝐹x) B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  Vcvv 2551  wss 2911   class class class wbr 3755  dom cdm 4288  cima 4291  Fun wfun 4839  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  funimass3  5226  funimass5  5227  funconstss  5228  funimassov  5592
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