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Theorem funimass4 5149
 Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹A) ⊆ Bx A (𝐹x) B))
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐹

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 2911 . 2 ((𝐹A) ⊆ By(y (𝐹A) → y B))
2 eqcom 2024 . . . . . . . . . 10 (y = (𝐹x) ↔ (𝐹x) = y)
3 ssel 2916 . . . . . . . . . . . 12 (A ⊆ dom 𝐹 → (x Ax dom 𝐹))
4 funbrfvb 5141 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → ((𝐹x) = yx𝐹y))
54ex 108 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → (x dom 𝐹 → ((𝐹x) = yx𝐹y)))
63, 5syl9 66 . . . . . . . . . . 11 (A ⊆ dom 𝐹 → (Fun 𝐹 → (x A → ((𝐹x) = yx𝐹y))))
76imp31 243 . . . . . . . . . 10 (((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) x A) → ((𝐹x) = yx𝐹y))
82, 7syl5bb 181 . . . . . . . . 9 (((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) x A) → (y = (𝐹x) ↔ x𝐹y))
98rexbidva 2301 . . . . . . . 8 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → (x A y = (𝐹x) ↔ x A x𝐹y))
10 vex 2538 . . . . . . . . 9 y V
1110elima 4600 . . . . . . . 8 (y (𝐹A) ↔ x A x𝐹y)
129, 11syl6rbbr 188 . . . . . . 7 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → (y (𝐹A) ↔ x A y = (𝐹x)))
1312imbi1d 220 . . . . . 6 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → ((y (𝐹A) → y B) ↔ (x A y = (𝐹x) → y B)))
14 r19.23v 2403 . . . . . 6 (x A (y = (𝐹x) → y B) ↔ (x A y = (𝐹x) → y B))
1513, 14syl6bbr 187 . . . . 5 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → ((y (𝐹A) → y B) ↔ x A (y = (𝐹x) → y B)))
1615albidv 1687 . . . 4 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → (y(y (𝐹A) → y B) ↔ yx A (y = (𝐹x) → y B)))
1716ancoms 255 . . 3 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (y(y (𝐹A) → y B) ↔ yx A (y = (𝐹x) → y B)))
18 ralcom4 2553 . . . 4 (x A y(y = (𝐹x) → y B) ↔ yx A (y = (𝐹x) → y B))
19 ssel2 2917 . . . . . . . . 9 ((A ⊆ dom 𝐹 x A) → x dom 𝐹)
2019anim2i 324 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 (A ⊆ dom 𝐹 x A)) → (Fun 𝐹 x dom 𝐹))
21203impb 1086 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹 x A) → (Fun 𝐹 x dom 𝐹))
22 funfvex 5117 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
23 nfv 1402 . . . . . . . 8 y(𝐹x) B
24 eleq1 2082 . . . . . . . 8 (y = (𝐹x) → (y B ↔ (𝐹x) B))
2523, 24ceqsalg 2559 . . . . . . 7 ((𝐹x) V → (y(y = (𝐹x) → y B) ↔ (𝐹x) B))
2621, 22, 253syl 17 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹 x A) → (y(y = (𝐹x) → y B) ↔ (𝐹x) B))
27263expa 1090 . . . . 5 (((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) x A) → (y(y = (𝐹x) → y B) ↔ (𝐹x) B))
2827ralbidva 2300 . . . 4 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (x A y(y = (𝐹x) → y B) ↔ x A (𝐹x) B))
2918, 28syl5bbr 183 . . 3 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (yx A (y = (𝐹x) → y B) ↔ x A (𝐹x) B))
3017, 29bitrd 177 . 2 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (y(y (𝐹A) → y B) ↔ x A (𝐹x) B))
311, 30syl5bb 181 1 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹A) ⊆ Bx A (𝐹x) B))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 873  ∀wal 1226   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  ∀wral 2284  ∃wrex 2285  Vcvv 2535   ⊆ wss 2894   class class class wbr 3738  dom cdm 4272   “ cima 4275  Fun wfun 4823  ‘cfv 4829 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-fv 4837 This theorem is referenced by:  funimass3  5208  funimass5  5209  funconstss  5210  funimassov  5573
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