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Theorem funimass4 5149
Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹A) ⊆ Bx A (𝐹x) B))
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐹

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 2911 . 2 ((𝐹A) ⊆ By(y (𝐹A) → y B))
2 eqcom 2024 . . . . . . . . . 10 (y = (𝐹x) ↔ (𝐹x) = y)
3 ssel 2916 . . . . . . . . . . . 12 (A ⊆ dom 𝐹 → (x Ax dom 𝐹))
4 funbrfvb 5141 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → ((𝐹x) = yx𝐹y))
54ex 108 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → (x dom 𝐹 → ((𝐹x) = yx𝐹y)))
63, 5syl9 66 . . . . . . . . . . 11 (A ⊆ dom 𝐹 → (Fun 𝐹 → (x A → ((𝐹x) = yx𝐹y))))
76imp31 243 . . . . . . . . . 10 (((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) x A) → ((𝐹x) = yx𝐹y))
82, 7syl5bb 181 . . . . . . . . 9 (((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) x A) → (y = (𝐹x) ↔ x𝐹y))
98rexbidva 2301 . . . . . . . 8 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → (x A y = (𝐹x) ↔ x A x𝐹y))
10 vex 2538 . . . . . . . . 9 y V
1110elima 4600 . . . . . . . 8 (y (𝐹A) ↔ x A x𝐹y)
129, 11syl6rbbr 188 . . . . . . 7 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → (y (𝐹A) ↔ x A y = (𝐹x)))
1312imbi1d 220 . . . . . 6 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → ((y (𝐹A) → y B) ↔ (x A y = (𝐹x) → y B)))
14 r19.23v 2403 . . . . . 6 (x A (y = (𝐹x) → y B) ↔ (x A y = (𝐹x) → y B))
1513, 14syl6bbr 187 . . . . 5 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → ((y (𝐹A) → y B) ↔ x A (y = (𝐹x) → y B)))
1615albidv 1687 . . . 4 ((A ⊆ dom 𝐹 Fun 𝐹) → (y(y (𝐹A) → y B) ↔ yx A (y = (𝐹x) → y B)))
1716ancoms 255 . . 3 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (y(y (𝐹A) → y B) ↔ yx A (y = (𝐹x) → y B)))
18 ralcom4 2553 . . . 4 (x A y(y = (𝐹x) → y B) ↔ yx A (y = (𝐹x) → y B))
19 ssel2 2917 . . . . . . . . 9 ((A ⊆ dom 𝐹 x A) → x dom 𝐹)
2019anim2i 324 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 (A ⊆ dom 𝐹 x A)) → (Fun 𝐹 x dom 𝐹))
21203impb 1086 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹 x A) → (Fun 𝐹 x dom 𝐹))
22 funfvex 5117 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
23 nfv 1402 . . . . . . . 8 y(𝐹x) B
24 eleq1 2082 . . . . . . . 8 (y = (𝐹x) → (y B ↔ (𝐹x) B))
2523, 24ceqsalg 2559 . . . . . . 7 ((𝐹x) V → (y(y = (𝐹x) → y B) ↔ (𝐹x) B))
2621, 22, 253syl 17 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹 x A) → (y(y = (𝐹x) → y B) ↔ (𝐹x) B))
27263expa 1090 . . . . 5 (((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) x A) → (y(y = (𝐹x) → y B) ↔ (𝐹x) B))
2827ralbidva 2300 . . . 4 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (x A y(y = (𝐹x) → y B) ↔ x A (𝐹x) B))
2918, 28syl5bbr 183 . . 3 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (yx A (y = (𝐹x) → y B) ↔ x A (𝐹x) B))
3017, 29bitrd 177 . 2 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (y(y (𝐹A) → y B) ↔ x A (𝐹x) B))
311, 30syl5bb 181 1 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹A) ⊆ Bx A (𝐹x) B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 873  wal 1226   = wceq 1228   wcel 1374  wral 2284  wrex 2285  Vcvv 2535  wss 2894   class class class wbr 3738  dom cdm 4272  cima 4275  Fun wfun 4823  cfv 4829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-fv 4837
This theorem is referenced by:  funimass3  5208  funimass5  5209  funconstss  5210  funimassov  5573
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