ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funconstss Structured version   GIF version

Theorem funconstss 5206
Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
funconstss ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (x A (𝐹x) = BA ⊆ (𝐹 “ {B})))
Distinct variable groups:   x,𝐹   x,A   x,B

Proof of Theorem funconstss
StepHypRef Expression
1 funimass4 5145 . 2 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹A) ⊆ {B} ↔ x A (𝐹x) {B}))
2 funimass3 5204 . 2 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹A) ⊆ {B} ↔ A ⊆ (𝐹 “ {B})))
3 ssel2 2913 . . . . . 6 ((A ⊆ dom 𝐹 x A) → x dom 𝐹)
43anim2i 324 . . . . 5 ((Fun 𝐹 (A ⊆ dom 𝐹 x A)) → (Fun 𝐹 x dom 𝐹))
54anassrs 382 . . . 4 (((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) x A) → (Fun 𝐹 x dom 𝐹))
6 funfvex 5113 . . . 4 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
7 elsncg 3368 . . . 4 ((𝐹x) V → ((𝐹x) {B} ↔ (𝐹x) = B))
85, 6, 73syl 17 . . 3 (((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) x A) → ((𝐹x) {B} ↔ (𝐹x) = B))
98ralbidva 2296 . 2 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (x A (𝐹x) {B} ↔ x A (𝐹x) = B))
101, 2, 93bitr3rd 208 1 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (x A (𝐹x) = BA ⊆ (𝐹 “ {B})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1226   wcel 1370  wral 2280  Vcvv 2531  wss 2890  {csn 3346  ccnv 4267  dom cdm 4268  cima 4271  Fun wfun 4819  cfv 4825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-fv 4833
This theorem is referenced by:  fconst3m  5301
  Copyright terms: Public domain W3C validator