ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff13f Structured version   GIF version

Theorem dff13f 5350
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 31-Jul-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
dff13f.1 x𝐹
dff13f.2 y𝐹
Assertion
Ref Expression
dff13f (𝐹:A1-1B ↔ (𝐹:AB x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
Distinct variable group:   x,y,A
Allowed substitution hints:   B(x,y)   𝐹(x,y)

Proof of Theorem dff13f
Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff13 5348 . 2 (𝐹:A1-1B ↔ (𝐹:AB w A v A ((𝐹w) = (𝐹v) → w = v)))
2 dff13f.2 . . . . . . . . 9 y𝐹
3 nfcv 2175 . . . . . . . . 9 yw
42, 3nffv 5126 . . . . . . . 8 y(𝐹w)
5 nfcv 2175 . . . . . . . . 9 yv
62, 5nffv 5126 . . . . . . . 8 y(𝐹v)
74, 6nfeq 2182 . . . . . . 7 y(𝐹w) = (𝐹v)
8 nfv 1418 . . . . . . 7 y w = v
97, 8nfim 1461 . . . . . 6 y((𝐹w) = (𝐹v) → w = v)
10 nfv 1418 . . . . . 6 v((𝐹w) = (𝐹y) → w = y)
11 fveq2 5119 . . . . . . . 8 (v = y → (𝐹v) = (𝐹y))
1211eqeq2d 2048 . . . . . . 7 (v = y → ((𝐹w) = (𝐹v) ↔ (𝐹w) = (𝐹y)))
13 equequ2 1596 . . . . . . 7 (v = y → (w = vw = y))
1412, 13imbi12d 223 . . . . . 6 (v = y → (((𝐹w) = (𝐹v) → w = v) ↔ ((𝐹w) = (𝐹y) → w = y)))
159, 10, 14cbvral 2523 . . . . 5 (v A ((𝐹w) = (𝐹v) → w = v) ↔ y A ((𝐹w) = (𝐹y) → w = y))
1615ralbii 2324 . . . 4 (w A v A ((𝐹w) = (𝐹v) → w = v) ↔ w A y A ((𝐹w) = (𝐹y) → w = y))
17 nfcv 2175 . . . . . 6 xA
18 dff13f.1 . . . . . . . . 9 x𝐹
19 nfcv 2175 . . . . . . . . 9 xw
2018, 19nffv 5126 . . . . . . . 8 x(𝐹w)
21 nfcv 2175 . . . . . . . . 9 xy
2218, 21nffv 5126 . . . . . . . 8 x(𝐹y)
2320, 22nfeq 2182 . . . . . . 7 x(𝐹w) = (𝐹y)
24 nfv 1418 . . . . . . 7 x w = y
2523, 24nfim 1461 . . . . . 6 x((𝐹w) = (𝐹y) → w = y)
2617, 25nfralxy 2354 . . . . 5 xy A ((𝐹w) = (𝐹y) → w = y)
27 nfv 1418 . . . . 5 wy A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)
28 fveq2 5119 . . . . . . . 8 (w = x → (𝐹w) = (𝐹x))
2928eqeq1d 2045 . . . . . . 7 (w = x → ((𝐹w) = (𝐹y) ↔ (𝐹x) = (𝐹y)))
30 equequ1 1595 . . . . . . 7 (w = x → (w = yx = y))
3129, 30imbi12d 223 . . . . . 6 (w = x → (((𝐹w) = (𝐹y) → w = y) ↔ ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
3231ralbidv 2320 . . . . 5 (w = x → (y A ((𝐹w) = (𝐹y) → w = y) ↔ y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
3326, 27, 32cbvral 2523 . . . 4 (w A y A ((𝐹w) = (𝐹y) → w = y) ↔ x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))
3416, 33bitri 173 . . 3 (w A v A ((𝐹w) = (𝐹v) → w = v) ↔ x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))
3534anbi2i 430 . 2 ((𝐹:AB w A v A ((𝐹w) = (𝐹v) → w = v)) ↔ (𝐹:AB x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
361, 35bitri 173 1 (𝐹:A1-1B ↔ (𝐹:AB x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wnfc 2162  wral 2300  wf 4840  1-1wf1 4841  cfv 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-br 3755  df-opab 3809  df-id 4020  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fv 4852
This theorem is referenced by:  f1mpt  5351  dom2lem  6181
  Copyright terms: Public domain W3C validator