Theorem unipr 3594

Description: The union of a pair is the union of its members. Proposition 5.7 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)

Hypotheses

Ref	Expression
unipr.1	|- A e. _V
unipr.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unipr	|- U. { A , B } = ( A u. B )

Proof of Theorem unipr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 1519	. . . 4 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y = A ) \/ ( x e. y /\ y = B ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y = A ) \/ E. y ( x e. y /\ y = B ) ) )
2		vex 2560	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3	2	elpr 3396	. . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } <-> ( y = A \/ y = B ) )
4	3	anbi2i 430	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ y e. { A , B } ) <-> ( x e. y /\ ( y = A \/ y = B ) ) )
5		andi 731	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ ( y = A \/ y = B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y = A ) \/ ( x e. y /\ y = B ) ) )
6	4, 5	bitri 173	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. { A , B } ) <-> ( ( x e. y /\ y = A ) \/ ( x e. y /\ y = B ) ) )
7	6	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. { A , B } ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y = A ) \/ ( x e. y /\ y = B ) ) )
8		unipr.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
9	8	clel3 2679	. . . . . 6 |- ( x e. A <-> E. y ( y = A /\ x e. y ) )
10		exancom 1499	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = A /\ x e. y ) <-> E. y ( x e. y /\ y = A ) )
11	9, 10	bitri 173	. . . . 5 |- ( x e. A <-> E. y ( x e. y /\ y = A ) )
12		unipr.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
13	12	clel3 2679	. . . . . 6 |- ( x e. B <-> E. y ( y = B /\ x e. y ) )
14		exancom 1499	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = B /\ x e. y ) <-> E. y ( x e. y /\ y = B ) )
15	13, 14	bitri 173	. . . . 5 |- ( x e. B <-> E. y ( x e. y /\ y = B ) )
16	11, 15	orbi12i 681	. . . 4 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y = A ) \/ E. y ( x e. y /\ y = B ) ) )
17	1, 7, 16	3bitr4ri 202	. . 3 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. { A , B } ) )
18	17	abbii 2153	. 2 |- { x | ( x e. A \/ x e. B ) } = { x | E. y ( x e. y /\ y e. { A , B } ) }
19		df-un 2922	. 2 |- ( A u. B ) = { x | ( x e. A \/ x e. B ) }
20		df-uni 3581	. 2 |- U. { A , B } = { x | E. y ( x e. y /\ y e. { A , B } ) }
21	18, 19, 20	3eqtr4ri 2071	1 |- U. { A , B } = ( A u. B )

Syntax hints:   /\ wa 97   \/ wo 629   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   _Vcvv 2557   u. cun 2915   {cpr 3376   U.cuni 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581

This theorem is referenced by:  uniprg  3595  unisn  3596  uniop  3992  unex  4176  bj-unex  10039