Theorem unex 4142

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- (A u. B) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3585	. 2 |- U. {A , B } = (A u. B)
4		prexgOLD 3937	. . . 4 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> {A , B } e. _V)
5	1, 2, 4	mp2an 402	. . 3 |- {A , B } e. _V
6	5	uniex 4140	. 2 |- U. {A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2108	1 |- (A u. B) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   u. cun 2909   {cpr 3368   U.cuni 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572

This theorem is referenced by:  unexb  4143  rdg0  5914  unen  6229  nn0ex  7963  xrex  8526