Theorem uniop 3992

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3548	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3590	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5		snexgOLD 3935	. . . 4 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
6	1, 5	ax-mp 7	. . 3 |- { A } e. _V
7		prexgOLD 3946	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
8	1, 2, 7	mp2an 402	. . 3 |- { A , B } e. _V
9	6, 8	unipr 3594	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
10		snsspr1 3512	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
11		ssequn1 3113	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
12	10, 11	mpbi 133	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
13	4, 9, 12	3eqtri 2064	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   u. cun 2915   C_ wss 2917   {csn 3375   {cpr 3376   <.cop 3378   U.cuni 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581

This theorem is referenced by:  uniopel  3993  elvvuni  4404  dmrnssfld  4595