Theorem ublbneg 8548

Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ublbneg	|- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3767	. . . . 5 |- ( b = y -> ( b <_ a <-> y <_ a ) )
2	1	cbvralv 2533	. . . 4 |- ( A. b e. A b <_ a <-> A. y e. A y <_ a )
3	2	rexbii 2331	. . 3 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. a e. RR A. y e. A y <_ a )
4		breq2 3768	. . . . 5 |- ( a = x -> ( y <_ a <-> y <_ x ) )
5	4	ralbidv 2326	. . . 4 |- ( a = x -> ( A. y e. A y <_ a <-> A. y e. A y <_ x ) )
6	5	cbvrexv 2534	. . 3 |- ( E. a e. RR A. y e. A y <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
7	3, 6	bitri 173	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
8		renegcl 7272	. . . 4 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
9		elrabi 2695	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> y e. RR )
10		negeq 7204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> -u z = -u y )
11	10	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( -u z e. A <-> -u y e. A ) )
12	11	elrab3 2699	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } <-> -u y e. A ) )
13	12	biimpd 132	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A ) )
14	9, 13	mpcom 32	. . . . . . . 8 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A )
15		breq1 3767	. . . . . . . . 9 |- ( b = -u y -> ( b <_ a <-> -u y <_ a ) )
16	15	rspcv 2652	. . . . . . . 8 |- ( -u y e. A -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
18	17	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) )
19		lenegcon1 7461	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
20	9, 19	sylan2 270	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) )
21	18, 20	sylibrd 158	. . . . 5 |- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u a <_ y ) )
22	21	ralrimdva 2399	. . . 4 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
23		breq1 3767	. . . . . 6 |- ( x = -u a -> ( x <_ y <-> -u a <_ y ) )
24	23	ralbidv 2326	. . . . 5 |- ( x = -u a -> ( A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y <-> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) )
25	24	rspcev 2656	. . . 4 |- ( ( -u a e. RR /\ A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
26	8, 22, 25	syl6an 1323	. . 3 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y ) )
27	26	rexlimiv 2427	. 2 |- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )
28	7, 27	sylbir 125	1 |- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   {crab 2310   class class class wbr 3764   RRcr 6888   <_ cle 7061   -ucneg 7183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185

This theorem is referenced by: (None)