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Theorem ublbneg 8324
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg  RR  <_  RR  {  RR  |  -u  }  <_
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3758 . . . . 5  b 
b  <_  a  <_ 
a
21cbvralv 2527 . . . 4  b  b  <_  a  <_  a
32rexbii 2325 . . 3  a  RR  b  b  <_  a  a  RR 
<_  a
4 breq2 3759 . . . . 5  a  <_  a  <_
54ralbidv 2320 . . . 4  a  <_  a  <_
65cbvrexv 2528 . . 3  a  RR  <_  a  RR 
<_
73, 6bitri 173 . 2  a  RR  b  b  <_  a  RR 
<_
8 renegcl 7068 . . . 4  a  RR  -u a  RR
9 elrabi 2689 . . . . . . . . 9  {  RR  |  -u  }  RR
10 negeq 7001 . . . . . . . . . . . 12  -u  -u
1110eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11  -u  -u
1211elrab3 2693 . . . . . . . . . 10  RR  {  RR  |  -u  }  -u
1312biimpd 132 . . . . . . . . 9  RR  {  RR  |  -u  }  -u
149, 13mpcom 32 . . . . . . . 8  {  RR  |  -u  }  -u
15 breq1 3758 . . . . . . . . 9  b  -u 
b  <_  a  -u  <_  a
1615rspcv 2646 . . . . . . . 8  -u  b  b  <_  a  -u  <_  a
1714, 16syl 14 . . . . . . 7  {  RR  |  -u  }  b  b  <_  a  -u  <_  a
1817adantl 262 . . . . . 6  a  RR  {  RR  |  -u  }  b  b  <_  a  -u  <_  a
19 lenegcon1 7256 . . . . . . 7  a  RR  RR  -u a  <_ 
-u  <_  a
209, 19sylan2 270 . . . . . 6  a  RR  {  RR  |  -u  }  -u a  <_  -u  <_  a
2118, 20sylibrd 158 . . . . 5  a  RR  {  RR  |  -u  }  b  b  <_  a  -u a  <_
2221ralrimdva 2393 . . . 4  a  RR  b  b  <_  a  {  RR  |  -u  } -u a  <_
23 breq1 3758 . . . . . 6  -u a  <_  -u a  <_
2423ralbidv 2320 . . . . 5  -u a  {  RR  |  -u  }  <_  {  RR  |  -u  } -u a  <_
2524rspcev 2650 . . . 4 
-u a  RR  {  RR  |  -u  } -u a  <_  RR  {  RR  |  -u  }  <_
268, 22, 25syl6an 1320 . . 3  a  RR  b  b  <_  a  RR  {  RR  |  -u  }  <_
2726rexlimiv 2421 . 2  a  RR  b  b  <_  a  RR  {  RR  |  -u  }  <_
287, 27sylbir 125 1  RR  <_  RR  {  RR  |  -u  }  <_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   {crab 2304   class class class wbr 3755   RRcr 6710    <_ cle 6858   -ucneg 6980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982
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