ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Unicode version

Theorem renegcl 7068
Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  RR  -u  RR

Proof of Theorem renegcl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-rnegex 6792 . 2  RR  RR  +  0
2 recn 6812 . . . . 5  RR  CC
3 df-neg 6982 . . . . . . 7  -u  0  -
43eqeq1i 2044 . . . . . 6  -u  0  -
5 recn 6812 . . . . . . 7  RR  CC
6 0cn 6817 . . . . . . . 8  0  CC
7 subadd 7011 . . . . . . . 8  0  CC  CC  CC  0  -  +  0
86, 7mp3an1 1218 . . . . . . 7  CC  CC  0  -  +  0
95, 8sylan 267 . . . . . 6  RR  CC  0  -  +  0
104, 9syl5bb 181 . . . . 5  RR  CC  -u  +  0
112, 10sylan2 270 . . . 4  RR  RR  -u  +  0
12 eleq1a 2106 . . . . 5  RR  -u  -u  RR
1312adantl 262 . . . 4  RR  RR  -u  -u  RR
1411, 13sylbird 159 . . 3  RR  RR  +  0  -u  RR
1514rexlimdva 2427 . 2  RR  RR  +  0  -u  RR
161, 15mpd 13 1  RR  -u  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711    + caddc 6714    - cmin 6979   -ucneg 6980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-neg 6982
This theorem is referenced by:  renegcli  7069  resubcl  7071  negreb  7072  renegcld  7174  ltnegcon1  7253  ltnegcon2  7254  lenegcon1  7256  lenegcon2  7257  mullt0  7270  recexre  7362  elnnz  8031  btwnz  8133  ublbneg  8324  negm  8326  rpnegap  8390  xnegcl  8515  xnegneg  8516  xltnegi  8518  iooneg  8626  iccneg  8627  icoshftf1o  8629  crim  9086  absnid  9227
  Copyright terms: Public domain W3C validator