Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ublbneg Structured version   GIF version

Theorem ublbneg 8304
 Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg (x y A yxx y {z ℝ ∣ -z A}xy)
Distinct variable group:   x,A,y,z

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3758 . . . . 5 (𝑏 = y → (𝑏𝑎y𝑎))
21cbvralv 2527 . . . 4 (𝑏 A 𝑏𝑎y A y𝑎)
32rexbii 2325 . . 3 (𝑎 𝑏 A 𝑏𝑎𝑎 y A y𝑎)
4 breq2 3759 . . . . 5 (𝑎 = x → (y𝑎yx))
54ralbidv 2320 . . . 4 (𝑎 = x → (y A y𝑎y A yx))
65cbvrexv 2528 . . 3 (𝑎 y A y𝑎x y A yx)
73, 6bitri 173 . 2 (𝑎 𝑏 A 𝑏𝑎x y A yx)
8 renegcl 7048 . . . 4 (𝑎 ℝ → -𝑎 ℝ)
9 elrabi 2689 . . . . . . . . 9 (y {z ℝ ∣ -z A} → y ℝ)
10 negeq 6981 . . . . . . . . . . . 12 (z = y → -z = -y)
1110eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (z = y → (-z A ↔ -y A))
1211elrab3 2693 . . . . . . . . . 10 (y ℝ → (y {z ℝ ∣ -z A} ↔ -y A))
1312biimpd 132 . . . . . . . . 9 (y ℝ → (y {z ℝ ∣ -z A} → -y A))
149, 13mpcom 32 . . . . . . . 8 (y {z ℝ ∣ -z A} → -y A)
15 breq1 3758 . . . . . . . . 9 (𝑏 = -y → (𝑏𝑎 ↔ -y𝑎))
1615rspcv 2646 . . . . . . . 8 (-y A → (𝑏 A 𝑏𝑎 → -y𝑎))
1714, 16syl 14 . . . . . . 7 (y {z ℝ ∣ -z A} → (𝑏 A 𝑏𝑎 → -y𝑎))
1817adantl 262 . . . . . 6 ((𝑎 y {z ℝ ∣ -z A}) → (𝑏 A 𝑏𝑎 → -y𝑎))
19 lenegcon1 7236 . . . . . . 7 ((𝑎 y ℝ) → (-𝑎y ↔ -y𝑎))
209, 19sylan2 270 . . . . . 6 ((𝑎 y {z ℝ ∣ -z A}) → (-𝑎y ↔ -y𝑎))
2118, 20sylibrd 158 . . . . 5 ((𝑎 y {z ℝ ∣ -z A}) → (𝑏 A 𝑏𝑎 → -𝑎y))
2221ralrimdva 2393 . . . 4 (𝑎 ℝ → (𝑏 A 𝑏𝑎y {z ℝ ∣ -z A}-𝑎y))
23 breq1 3758 . . . . . 6 (x = -𝑎 → (xy ↔ -𝑎y))
2423ralbidv 2320 . . . . 5 (x = -𝑎 → (y {z ℝ ∣ -z A}xyy {z ℝ ∣ -z A}-𝑎y))
2524rspcev 2650 . . . 4 ((-𝑎 y {z ℝ ∣ -z A}-𝑎y) → x y {z ℝ ∣ -z A}xy)
268, 22, 25syl6an 1320 . . 3 (𝑎 ℝ → (𝑏 A 𝑏𝑎x y {z ℝ ∣ -z A}xy))
2726rexlimiv 2421 . 2 (𝑎 𝑏 A 𝑏𝑎x y {z ℝ ∣ -z A}xy)
287, 27sylbir 125 1 (x y A yxx y {z ℝ ∣ -z A}xy)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  {crab 2304   class class class wbr 3755  ℝcr 6690   ≤ cle 6838  -cneg 6960 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltadd 6779 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator