ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  issref Structured version   Unicode version

Theorem issref 4650
Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)
Assertion
Ref Expression
issref  _I  |`  C_  R  R
Distinct variable groups:   ,   , R

Proof of Theorem issref
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2305 . 2  R  R
2 vex 2554 . . . . 5 
_V
3 opelresi 4566 . . . . 5  _V  <. ,  >.  _I  |`
42, 3ax-mp 7 . . . 4  <. ,  >.  _I  |`
5 df-br 3756 . . . . 5  R  <. ,  >.  R
65bicomi 123 . . . 4  <. ,  >.  R  R
74, 6imbi12i 228 . . 3 
<. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  R
87albii 1356 . 2  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  R
9 ralidm 3315 . . . . . 6  _V  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R
10 ralv 2565 . . . . . 6  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R
119, 10bitri 173 . . . . 5  _V  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R
12 df-ral 2305 . . . . . . . . 9  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R
13 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . 12  _V  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R
14 opelresg 4562 . . . . . . . . . . . . . . 15  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. , 
>.  _I
15 df-br 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  _I  <. ,  >.  _I
16 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
_V
1716ideq 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  _I
18 opelresi 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  <. ,  >.  _I  |`
19 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
20 opeq2 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  <. ,  >.  <. ,  >.
2120eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  <. ,  >.  R  <. , 
>.  R
2221biimpcd 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  <. ,  >.  R  <. , 
>.  R
2319, 22syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
2418, 23syl6bir 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. , 
>.  R
2524pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. , 
>.  R
2625com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
2717, 26sylbi 114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  _I  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
2815, 27sylbir 125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >.  _I  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
2928imp 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 
<. ,  >.  _I  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
3014, 29syl6bi 152 . . . . . . . . . . . . . 14  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  <. ,  >.  R
3130com3r 73 . . . . . . . . . . . . 13 
<. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  <. , 
>.  _I  |`  <. , 
>.  R
3231ralrimiv 2385 . . . . . . . . . . . 12 
<. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  <. , 
>.  _I  |`  <. , 
>.  R
3313, 32syl6 29 . . . . . . . . . . 11  _V  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  <. , 
>.  _I  |`  <. , 
>.  R
342, 33ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  <. , 
>.  _I  |`  <. , 
>.  R
3534sps 1427 . . . . . . . . 9  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  <. , 
>.  _I  |`  <. , 
>.  R
3612, 35sylbi 114 . . . . . . . 8  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  <. , 
>.  _I  |`  <. , 
>.  R
3736ralimi 2378 . . . . . . 7  _V  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R
38 eleq1 2097 . . . . . . . . 9  <. , 
>.  _I  |` 
<. ,  >.  _I  |`
39 eleq1 2097 . . . . . . . . 9  <. , 
>.  R  <. , 
>.  R
4038, 39imbi12d 223 . . . . . . . 8  <. , 
>.  _I  |`  R  <. , 
>.  _I  |`  <. , 
>.  R
4140ralxp 4422 . . . . . . 7  _V  X.  _V  _I  |`  R  _V  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. , 
>.  R
4237, 41sylibr 137 . . . . . 6  _V  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _V  X.  _V  _I  |`  R
43 df-ral 2305 . . . . . . 7  _V  X.  _V  _I  |`  R  _V  X.  _V  _I  |`  R
44 relres 4582 . . . . . . . . . . . 12  Rel  _I  |`
45 df-rel 4295 . . . . . . . . . . . 12  Rel  _I  |`  _I  |` 
C_  _V  X.  _V
4644, 45mpbi 133 . . . . . . . . . . 11  _I  |`  C_  _V  X.  _V
4746sseli 2935 . . . . . . . . . 10  _I  |`  _V 
X.  _V
4847ancri 307 . . . . . . . . 9  _I  |`  _V  X.  _V  _I  |`
49 pm3.31 249 . . . . . . . . 9  _V 
X.  _V  _I  |`  R  _V  X.  _V  _I  |`  R
5048, 49syl5 28 . . . . . . . 8  _V 
X.  _V  _I  |`  R  _I  |`  R
5150alimi 1341 . . . . . . 7  _V  X.  _V  _I  |`  R  _I  |`  R
5243, 51sylbi 114 . . . . . 6  _V  X.  _V  _I  |`  R  _I  |`  R
5342, 52syl 14 . . . . 5  _V  _V  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _I  |`  R
5411, 53sylbir 125 . . . 4  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _I  |`  R
55 dfss2 2928 . . . 4  _I  |`  C_  R  _I  |`  R
5654, 55sylibr 137 . . 3  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _I  |`  C_  R
57 ssel 2933 . . . 4  _I  |`  C_  R  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R
5857alrimiv 1751 . . 3  _I  |`  C_  R  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R
5956, 58impbii 117 . 2  <. ,  >.  _I  |`  <. ,  >.  R  _I  |`  C_  R
601, 8, 593bitr2ri 198 1  _I  |`  C_  R  R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755    _I cid 4016    X. cxp 4286    |` cres 4290   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-res 4300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator