Theorem ralidm 3321

Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ralidm	|- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ralidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2355	. . 3 |- F/ x A. x e. A A. x e. A ph
2		anidm 376	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) <-> x e. A )
3		rsp2 2371	. . . 4 |- ( A. x e. A A. x e. A ph -> ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ph ) )
4	2, 3	syl5bir 142	. . 3 |- ( A. x e. A A. x e. A ph -> ( x e. A -> ph ) )
5	1, 4	ralrimi 2390	. 2 |- ( A. x e. A A. x e. A ph -> A. x e. A ph )
6		ax-1 5	. . . 4 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
7		nfra1 2355	. . . . 5 |- F/ x A. x e. A ph
8	7	19.23 1568	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) <-> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
9	6, 8	sylibr 137	. . 3 |- ( A. x e. A ph -> A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
10		df-ral 2311	. . 3 |- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
11	9, 10	sylibr 137	. 2 |- ( A. x e. A ph -> A. x e. A A. x e. A ph )
12	5, 11	impbii 117	1 |- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-4 1400  ax-ial 1427  ax-i5r 1428

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-ral 2311

This theorem is referenced by:  issref  4707  cnvpom  4860