Theorem opelresg 4619

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
opelresg	|- ( B e. V -> ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) ) )

Proof of Theorem opelresg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 3550	. . 3 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
2	1	eleq1d 2106	. 2 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. ( C |` D ) <-> <. A , B >. e. ( C |` D ) ) )
3	1	eleq1d 2106	. . 3 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. C <-> <. A , B >. e. C ) )
4	3	anbi1d 438	. 2 |- ( y = B -> ( ( <. A , y >. e. C /\ A e. D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) ) )
5		vex 2560	. . 3 |- y e. _V
6	5	opelres 4617	. 2 |- ( <. A , y >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , y >. e. C /\ A e. D ) )
7	2, 4, 6	vtoclbg 2614	1 |- ( B e. V -> ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   |` cres 4347

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351  df-res 4357

This theorem is referenced by:  brresg  4620  opelresi  4623  issref  4707