ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cotr Structured version   Unicode version

Theorem cotr 4649
Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cotr  R  o.  R 
C_  R  R  R  R
Distinct variable group:   ,,, R

Proof of Theorem cotr
StepHypRef Expression
1 df-co 4297 . . . 4  R  o.  R  { <. , 
>.  |  R  R }
21relopabi 4406 . . 3  Rel  R  o.  R
3 ssrel 4371 . . 3  Rel  R  o.  R  R  o.  R  C_  R 
<. ,  >.  R  o.  R  <. , 
>.  R
42, 3ax-mp 7 . 2  R  o.  R 
C_  R  <. ,  >.  R  o.  R  <. , 
>.  R
5 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
6 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
75, 6opelco 4450 . . . . . . 7  <. ,  >.  R  o.  R  R  R
8 df-br 3756 . . . . . . . 8  R  <. ,  >.  R
98bicomi 123 . . . . . . 7  <. ,  >.  R  R
107, 9imbi12i 228 . . . . . 6 
<. ,  >.  R  o.  R  <. , 
>.  R  R  R  R
11 19.23v 1760 . . . . . 6  R  R  R  R  R  R
1210, 11bitr4i 176 . . . . 5 
<. ,  >.  R  o.  R  <. , 
>.  R  R  R  R
1312albii 1356 . . . 4  <. , 
>.  R  o.  R  <. ,  >.  R  R  R  R
14 alcom 1364 . . . 4  R  R  R  R  R  R
1513, 14bitri 173 . . 3  <. , 
>.  R  o.  R  <. ,  >.  R  R  R  R
1615albii 1356 . 2  <. ,  >.  R  o.  R  <. , 
>.  R  R  R  R
174, 16bitri 173 1  R  o.  R 
C_  R  R  R  R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240  wex 1378   wcel 1390    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755    o. ccom 4292   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-co 4297
This theorem is referenced by:  xpidtr  4658  trin2  4659  dfer2  6043
  Copyright terms: Public domain W3C validator