ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Unicode version

Theorem fzo0to42pr 8846
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr  0..^ 4  { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 }

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 7974 . . . 4  2  NN0
2 4nn0 7976 . . . 4  4  NN0
3 2re 7765 . . . . 5  2  RR
4 4re 7772 . . . . 5  4  RR
5 2lt4 7868 . . . . 5  2  <  4
63, 4, 5ltleii 6917 . . . 4  2  <_  4
7 elfz2nn0 8743 . . . 4  2  0 ... 4  2  NN0  4  NN0  2  <_ 
4
81, 2, 6, 7mpbir3an 1085 . . 3  2  0 ... 4
9 fzosplit 8803 . . 3  2  0 ... 4 
0..^ 4  0..^ 2  u.  2..^ 4
108, 9ax-mp 7 . 2  0..^ 4  0..^ 2  u.  2..^ 4
11 fzo0to2pr 8844 . . 3  0..^ 2  {
0 ,  1 }
12 4z 8051 . . . . 5  4  ZZ
13 fzoval 8775 . . . . 5  4  ZZ 
2..^ 4  2 ...
4  -  1
1412, 13ax-mp 7 . . . 4  2..^ 4  2 ... 4  -  1
15 4cn 7773 . . . . . . . 8  4  CC
16 ax-1cn 6776 . . . . . . . 8  1  CC
17 3cn 7770 . . . . . . . 8  3  CC
18 df-4 7755 . . . . . . . . . 10  4  3  +  1
1917, 16addcomi 6954 . . . . . . . . . 10  3  +  1  1  +  3
2018, 19eqtri 2057 . . . . . . . . 9  4  1  +  3
2120eqcomi 2041 . . . . . . . 8  1  +  3  4
2215, 16, 17, 21subaddrii 7096 . . . . . . 7  4  -  1  3
23 df-3 7754 . . . . . . 7  3  2  +  1
2422, 23eqtri 2057 . . . . . 6  4  -  1  2  +  1
2524oveq2i 5466 . . . . 5  2 ... 4  -  1  2 ...
2  +  1
26 2z 8049 . . . . . 6  2  ZZ
27 fzpr 8709 . . . . . 6  2  ZZ 
2 ... 2  +  1  { 2 ,  2  +  1 }
2826, 27ax-mp 7 . . . . 5  2 ... 2  +  1  { 2 ,  2  +  1 }
2925, 28eqtri 2057 . . . 4  2 ... 4  -  1  { 2 ,  2  +  1 }
3023eqcomi 2041 . . . . 5  2  +  1  3
3130preq2i 3442 . . . 4  { 2 ,  2  +  1 }  { 2 ,  3 }
3214, 29, 313eqtri 2061 . . 3  2..^ 4  {
2 ,  3 }
3311, 32uneq12i 3089 . 2  0..^ 2  u.  2..^ 4  {
0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 }
3410, 33eqtri 2057 1  0..^ 4  { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909   {cpr 3368   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   0cc0 6711   1c1 6712    + caddc 6714    <_ cle 6858    - cmin 6979   2c2 7744   3c3 7745   4c4 7746   NN0cn0 7957   ZZcz 8021   ...cfz 8644  ..^cfzo 8769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-4 7755  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-fzo 8770
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator