Theorem fzo0to3tp 9075

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	|- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 8274	. . 3 |- 3 e. ZZ
2		fzoval 9005	. . 3 |- ( 3 e. ZZ -> ( 0..^ 3 ) = ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- ( 0..^ 3 ) = ( 0 ... ( 3 - 1 ) )
4		3m1e2 8036	. . . 4 |- ( 3 - 1 ) = 2
5		2cn 7986	. . . . 5 |- 2 e. CC
6	5	addid2i 7156	. . . 4 |- ( 0 + 2 ) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2063	. . 3 |- ( 3 - 1 ) = ( 0 + 2 )
8	7	oveq2i 5523	. 2 |- ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 0 + 2 ) )
9		0z 8256	. . 3 |- 0 e. ZZ
10		fztp 8940	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } )
11		eqidd 2041	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> 0 = 0 )
12		0p1e1 8031	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 + 1 ) = 1 )
14	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 + 2 ) = 2 )
15	11, 13, 14	tpeq123d 3462	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } = { 0 , 1 , 2 } )
16	10, 15	eqtrd 2072	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , 1 , 2 } )
17	9, 16	ax-mp 7	. 2 |- ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , 1 , 2 }
18	3, 8, 17	3eqtri 2064	1 |- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393   {ctp 3377  (class class class)co 5512   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   - cmin 7182   2c2 7964   3c3 7965   ZZcz 8245   ...cfz 8874  ..^cfzo 8999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000

This theorem is referenced by: (None)