ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exss Structured version   Unicode version

Theorem exss 3954
Description: Restricted existence in a class (even if proper) implies restricted existence in a subset. (Contributed by NM, 23-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
exss  C_
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem exss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabn0m 3239 . . 3  {  |  }
2 df-rab 2309 . . . . 5  {  |  }  {  |  }
32eleq2i 2101 . . . 4  {  |  }  {  |  }
43exbii 1493 . . 3  {  |  }  {  |  }
51, 4bitr3i 175 . 2  {  |  }
6 vex 2554 . . . . . 6 
_V
76snss 3485 . . . . 5  {  |  }  { }  C_  {  |  }
8 ssab2 3018 . . . . . 6  {  |  }  C_
9 sstr2 2946 . . . . . 6  { }  C_  {  |  }  {  |  }  C_  { }  C_
108, 9mpi 15 . . . . 5  { }  C_  {  |  }  { }  C_
117, 10sylbi 114 . . . 4  {  |  }  { }  C_
12 simpr 103 . . . . . . . 8
13 equsb1 1665 . . . . . . . . 9
14 elsn 3382 . . . . . . . . . 10  { }
1514sbbii 1645 . . . . . . . . 9  { }
1613, 15mpbir 134 . . . . . . . 8 
{ }
1712, 16jctil 295 . . . . . . 7  { }
18 df-clab 2024 . . . . . . . 8  {  |  }
19 sban 1826 . . . . . . . 8
2018, 19bitri 173 . . . . . . 7  {  |  }
21 df-rab 2309 . . . . . . . . 9  {  { }  |  }  {  |  { }  }
2221eleq2i 2101 . . . . . . . 8  { 
{ }  |  }  {  |  { }  }
23 df-clab 2024 . . . . . . . . 9  {  |  { }  }  { }
24 sban 1826 . . . . . . . . 9  { }  { }
2523, 24bitri 173 . . . . . . . 8  {  |  { }  }  { }
2622, 25bitri 173 . . . . . . 7  { 
{ }  |  } 
{ }
2717, 20, 263imtr4i 190 . . . . . 6  {  |  }  {  { }  |  }
28 elex2 2564 . . . . . 6  { 
{ }  |  }  {  { }  |  }
2927, 28syl 14 . . . . 5  {  |  }  {  { }  |  }
30 rabn0m 3239 . . . . 5  {  { }  |  } 
{ }
3129, 30sylib 127 . . . 4  {  |  }  { }
32 snexgOLD 3926 . . . . . 6  _V  { }  _V
336, 32ax-mp 7 . . . . 5  { }  _V
34 sseq1 2960 . . . . . 6  { }  C_  { }  C_
35 rexeq 2500 . . . . . 6  { }  { }
3634, 35anbi12d 442 . . . . 5  { }  C_  { }  C_  { }
3733, 36spcev 2641 . . . 4  { }  C_ 
{ }  C_
3811, 31, 37syl2anc 391 . . 3  {  |  }  C_
3938exlimiv 1486 . 2  {  |  }  C_
405, 39sylbi 114 1  C_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wsb 1642   {cab 2023  wrex 2301   {crab 2304   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   {csn 3367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator