Theorem elmpt2cl 5698

Description: If a two-parameter class is not empty, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elmpt2cl.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
elmpt2cl	|- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   S( x, y)   T( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem elmpt2cl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmpt2cl.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpt2 5517	. . . . . 6 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3	1, 2	eqtri 2060	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	3	dmeqi 4536	. . . 4 |- dom F = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5		dmoprabss 5586	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } C_ ( A X. B )
6	4, 5	eqsstri 2975	. . 3 |- dom F C_ ( A X. B )
7	1	mpt2fun 5603	. . . . . 6 |- Fun F
8		funrel 4919	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Rel F )
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . 5 |- Rel F
10		relelfvdm 5205	. . . . 5 |- ( ( Rel F /\ X e. ( F ` <. S , T >. ) ) -> <. S , T >. e. dom F )
11	9, 10	mpan 400	. . . 4 |- ( X e. ( F ` <. S , T >. ) -> <. S , T >. e. dom F )
12		df-ov 5515	. . . 4 |- ( S F T ) = ( F ` <. S , T >. )
13	11, 12	eleq2s 2132	. . 3 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. dom F )
14	6, 13	sseldi 2943	. 2 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. ( A X. B ) )
15		opelxp 4374	. 2 |- ( <. S , T >. e. ( A X. B ) <-> ( S e. A /\ T e. B ) )
16	14, 15	sylib 127	1 |- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   X. cxp 4343   dom cdm 4345   Rel wrel 4350   Fun wfun 4896   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   {coprab 5513   |-> cmpt2 5514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517

This theorem is referenced by:  elmpt2cl1  5699  elmpt2cl2  5700  elovmpt2  5701  ixxssxr  8769  elixx3g  8770  ixxssixx  8771  eliooxr  8796  elfz2  8881