ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elmpt2cl Structured version   Unicode version

Theorem elmpt2cl 5640
Description: If a two-parameter class is not empty, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elmpt2cl.f  F  ,  |->  C
Assertion
Ref Expression
elmpt2cl  X  S F T  S  T
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:    C(,)    S(,)    T(,)    F(,)    X(,)

Proof of Theorem elmpt2cl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmpt2cl.f . . . . . 6  F  ,  |->  C
2 df-mpt2 5460 . . . . . 6  ,  |->  C  { <. <. ,  >. ,  >.  |  C }
31, 2eqtri 2057 . . . . 5  F  { <. <. , 
>. ,  >.  |  C }
43dmeqi 4479 . . . 4  dom  F  dom  { <. <. ,  >. ,  >.  |  C }
5 dmoprabss 5528 . . . 4  dom  { <. <. , 
>. ,  >.  |  C }  C_  X.
64, 5eqsstri 2969 . . 3  dom  F  C_  X.
71mpt2fun 5545 . . . . . 6  Fun  F
8 funrel 4862 . . . . . 6  Fun 
F  Rel  F
97, 8ax-mp 7 . . . . 5  Rel  F
10 relelfvdm 5148 . . . . 5  Rel  F  X  F `  <. S ,  T >.  <. S ,  T >.  dom  F
119, 10mpan 400 . . . 4  X  F `  <. S ,  T >.  <. S ,  T >.  dom  F
12 df-ov 5458 . . . 4  S F T  F `  <. S ,  T >.
1311, 12eleq2s 2129 . . 3  X  S F T  <. S ,  T >.  dom  F
146, 13sseldi 2937 . 2  X  S F T  <. S ,  T >.  X.
15 opelxp 4317 . 2  <. S ,  T >.  X.  S  T
1614, 15sylib 127 1  X  S F T  S  T
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   <.cop 3370    X. cxp 4286   dom cdm 4288   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   {coprab 5456    |-> cmpt2 5457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460
This theorem is referenced by:  elmpt2cl1  5641  elmpt2cl2  5642  elovmpt2  5643  ixxssxr  8539  elixx3g  8540  ixxssixx  8541  eliooxr  8566  elfz2  8651
  Copyright terms: Public domain W3C validator