Theorem elovmpt2 5701

Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmpt2.d	|- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
elovmpt2.c	|- C e. _V
elovmpt2.e	|- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
elovmpt2	|- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Distinct variable groups:   A, a, b   B, a, b   E, a, b   F, a, b   X, a, b   Y, a, b

Allowed substitution hints:   C( a, b)   D( a, b)

Proof of Theorem elovmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpt2.d	. . . 4 |- D = ( a e. A , b e. B |-> C )
2	1	elmpt2cl 5698	. . 3 |- ( F e. ( X D Y ) -> ( X e. A /\ Y e. B ) )
3		elovmpt2.c	. . . . . . 7 |- C e. _V
4	3	gen2 1339	. . . . . 6 |- A. a A. b C e. _V
5		elovmpt2.e	. . . . . . . 8 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> C = E )
6	5	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> ( C e. _V <-> E e. _V ) )
7	6	spc2gv 2643	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( A. a A. b C e. _V -> E e. _V ) )
8	4, 7	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> E e. _V )
9	5, 1	ovmpt2ga 5630	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ E e. _V ) -> ( X D Y ) = E )
10	8, 9	mpd3an3 1233	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X D Y ) = E )
11	10	eleq2d 2107	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X D Y ) <-> F e. E ) )
12	2, 11	biadan2 429	. 2 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
13		df-3an 887	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) <-> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ F e. E ) )
14	12, 13	bitr4i 176	1 |- ( F e. ( X D Y ) <-> ( X e. A /\ Y e. B /\ F e. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557  (class class class)co 5512   |-> cmpt2 5514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517

This theorem is referenced by: (None)