ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elovmpt2 Structured version   GIF version

Theorem elovmpt2 5643
Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elovmpt2.d 𝐷 = (𝑎 A, 𝑏 B𝐶)
elovmpt2.c 𝐶 V
elovmpt2.e ((𝑎 = 𝑋 𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
elovmpt2 (𝐹 (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋 A 𝑌 B 𝐹 𝐸))
Distinct variable groups:   A,𝑎,𝑏   B,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem elovmpt2
StepHypRef Expression
1 elovmpt2.d . . . 4 𝐷 = (𝑎 A, 𝑏 B𝐶)
21elmpt2cl 5640 . . 3 (𝐹 (𝑋𝐷𝑌) → (𝑋 A 𝑌 B))
3 elovmpt2.c . . . . . . 7 𝐶 V
43gen2 1336 . . . . . 6 𝑎𝑏 𝐶 V
5 elovmpt2.e . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑋 𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)
65eleq1d 2103 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑋 𝑏 = 𝑌) → (𝐶 V ↔ 𝐸 V))
76spc2gv 2637 . . . . . 6 ((𝑋 A 𝑌 B) → (𝑎𝑏 𝐶 V → 𝐸 V))
84, 7mpi 15 . . . . 5 ((𝑋 A 𝑌 B) → 𝐸 V)
95, 1ovmpt2ga 5572 . . . . 5 ((𝑋 A 𝑌 B 𝐸 V) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
108, 9mpd3an3 1232 . . . 4 ((𝑋 A 𝑌 B) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
1110eleq2d 2104 . . 3 ((𝑋 A 𝑌 B) → (𝐹 (𝑋𝐷𝑌) ↔ 𝐹 𝐸))
122, 11biadan2 429 . 2 (𝐹 (𝑋𝐷𝑌) ↔ ((𝑋 A 𝑌 B) 𝐹 𝐸))
13 df-3an 886 . 2 ((𝑋 A 𝑌 B 𝐹 𝐸) ↔ ((𝑋 A 𝑌 B) 𝐹 𝐸))
1412, 13bitr4i 176 1 (𝐹 (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋 A 𝑌 B 𝐹 𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  (class class class)co 5455  cmpt2 5457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator