ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elovmpt2 GIF version

Theorem elovmpt2 5701
Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elovmpt2.d 𝐷 = (𝑎𝐴, 𝑏𝐵𝐶)
elovmpt2.c 𝐶 ∈ V
elovmpt2.e ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
elovmpt2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵𝐹𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem elovmpt2
StepHypRef Expression
1 elovmpt2.d . . . 4 𝐷 = (𝑎𝐴, 𝑏𝐵𝐶)
21elmpt2cl 5698 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) → (𝑋𝐴𝑌𝐵))
3 elovmpt2.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ V
43gen2 1339 . . . . . 6 𝑎𝑏 𝐶 ∈ V
5 elovmpt2.e . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)
65eleq1d 2106 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝑌) → (𝐶 ∈ V ↔ 𝐸 ∈ V))
76spc2gv 2643 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑎𝑏 𝐶 ∈ V → 𝐸 ∈ V))
84, 7mpi 15 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝐸 ∈ V)
95, 1ovmpt2ga 5630 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐵𝐸 ∈ V) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
108, 9mpd3an3 1233 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
1110eleq2d 2107 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ 𝐹𝐸))
122, 11biadan2 429 . 2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ ((𝑋𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝐹𝐸))
13 df-3an 887 . 2 ((𝑋𝐴𝑌𝐵𝐹𝐸) ↔ ((𝑋𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝐹𝐸))
1412, 13bitr4i 176 1 (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵𝐹𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  w3a 885  wal 1241   = wceq 1243  wcel 1393  Vcvv 2557  (class class class)co 5512  cmpt2 5514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator