Theorem dmoprabss 5586

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprabss	|- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmoprab 5585	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		19.42v 1786	. . . 4 |- ( E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) )
3	2	opabbii 3824	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) }
4		opabssxp 4414	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) } C_ ( A X. B )
5	3, 4	eqsstri 2975	. 2 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
6	1, 5	eqsstri 2975	1 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 97   E.wex 1381   e. wcel 1393   C_ wss 2917   {copab 3817   X. cxp 4343   dom cdm 4345   {coprab 5513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-dm 4355  df-oprab 5516

This theorem is referenced by:  elmpt2cl  5698  oprabexd  5754  oprabex  5755