Theorem oprabex 5755

Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex.1	|- A e. _V
oprabex.2	|- B e. _V
oprabex.3	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
oprabex.4	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
oprabex	|- F e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex.4	. 2 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		oprabex.3	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
3		moanimv 1975	. . . . 5 |- ( E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph ) )
4	2, 3	mpbir 134	. . . 4 |- E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph )
5	4	funoprab 5601	. . 3 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
6		oprabex.1	. . . . 5 |- A e. _V
7		oprabex.2	. . . . 5 |- B e. _V
8	6, 7	xpex 4453	. . . 4 |- ( A X. B ) e. _V
9		dmoprabss 5586	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
10	8, 9	ssexi 3895	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
11		funex 5384	. . 3 |- ( ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 402	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
13	1, 12	eqeltri 2110	1 |- F e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   E*wmo 1901   _Vcvv 2557   X. cxp 4343   dom cdm 4345   Fun wfun 4896   {coprab 5513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-oprab 5516

This theorem is referenced by:  oprabex3  5756