ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabex Unicode version

Theorem oprabex 5755
Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabex.1  |-  A  e. 
_V
oprabex.2  |-  B  e. 
_V
oprabex.3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph )
oprabex.4  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
Assertion
Ref Expression
oprabex  |-  F  e. 
_V
Distinct variable groups:    x, y, z, A    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabex
StepHypRef Expression
1 oprabex.4 . 2  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
2 oprabex.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph )
3 moanimv 1975 . . . . 5  |-  ( E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) 
<->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ph ) )
42, 3mpbir 134 . . . 4  |-  E* z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph )
54funoprab 5601 . . 3  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
6 oprabex.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
7 oprabex.2 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
86, 7xpex 4453 . . . 4  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
9 dmoprabss 5586 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  C_  ( A  X.  B )
108, 9ssexi 3895 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V
11 funex 5384 . . 3  |-  ( ( Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  /\  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V )  ->  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  e.  _V )
125, 10, 11mp2an 402 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ph ) }  e.  _V
131, 12eqeltri 2110 1  |-  F  e. 
_V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393   E*wmo 1901   _Vcvv 2557    X. cxp 4343   dom cdm 4345   Fun wfun 4896   {coprab 5513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-oprab 5516
This theorem is referenced by:  oprabex3  5756
  Copyright terms: Public domain W3C validator