Theorem brprcneu 5171

Description: If A is a proper class, then there is no unique binary relationship with A as the first element. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
brprcneu	|- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem brprcneu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtruex 4283	. . . . . . . . 9 |- E. y -. y = x
2		equcom 1593	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y <-> y = x )
3	2	notbii 594	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x = y <-> -. y = x )
4	3	exbii 1496	. . . . . . . . 9 |- ( E. y -. x = y <-> E. y -. y = x )
5	1, 4	mpbir 134	. . . . . . . 8 |- E. y -. x = y
6	5	jctr 298	. . . . . . 7 |- ( (/) e. F -> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
7		19.42v 1786	. . . . . . 7 |- ( E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
8	6, 7	sylibr 137	. . . . . 6 |- ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) )
9		opprc1 3571	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> <. A , x >. = (/) )
10	9	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F <-> (/) e. F ) )
11		opprc1 3571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
12	11	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. F <-> (/) e. F ) )
13	10, 12	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( (/) e. F /\ (/) e. F ) ) )
14		anidm 376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. F /\ (/) e. F ) <-> (/) e. F )
15	13, 14	syl6bb 185	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> (/) e. F ) )
16	15	anbi1d 438	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
17	16	exbidv 1706	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
18	10, 17	imbi12d 223	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) <-> ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) ) )
19	8, 18	mpbiri 157	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) )
20		df-br 3765	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
21		df-br 3765	. . . . . . . 8 |- ( A F y <-> <. A , y >. e. F )
22	20, 21	anbi12i 433	. . . . . . 7 |- ( ( A F x /\ A F y ) <-> ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) )
23	22	anbi1i 431	. . . . . 6 |- ( ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
24	23	exbii 1496	. . . . 5 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
25	19, 20, 24	3imtr4g 194	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( A F x -> E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
26	25	eximdv 1760	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
27		exanaliim 1538	. . . . . 6 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
28	27	eximi 1491	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
29		exnalim 1537	. . . . 5 |- ( E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) -> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
30	28, 29	syl 14	. . . 4 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
31		breq2 3768	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A F x <-> A F y ) )
32	31	mo4 1961	. . . . 5 |- ( E* x A F x <-> A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
33	32	notbii 594	. . . 4 |- ( -. E* x A F x <-> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
34	30, 33	sylibr 137	. . 3 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. E* x A F x )
35	26, 34	syl6 29	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
36		eu5 1947	. . . 4 |- ( E! x A F x <-> ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
37	36	notbii 594	. . 3 |- ( -. E! x A F x <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
38		imnan 624	. . 3 |- ( ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
39	37, 38	bitr4i 176	. 2 |- ( -. E! x A F x <-> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
40	35, 39	sylibr 137	1 |- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   E.wex 1381   e. wcel 1393   E!weu 1900   E*wmo 1901   _Vcvv 2557   (/)c0 3224   <.cop 3378   class class class wbr 3764

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765

This theorem is referenced by:  fvprc  5172