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Theorem brprcneu 5092
Description: If A is a proper class, then there is no unique binary relationship with A as the first element. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
brprcneu A V → ¬ ∃!x A𝐹x)
Distinct variable groups:   x,A   x,𝐹

Proof of Theorem brprcneu
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtruex 4217 . . . . . . . . 9 y ¬ y = x
2 equcom 1571 . . . . . . . . . . 11 (x = yy = x)
32notbii 581 . . . . . . . . . 10 x = y ↔ ¬ y = x)
43exbii 1474 . . . . . . . . 9 (y ¬ x = yy ¬ y = x)
51, 4mpbir 134 . . . . . . . 8 y ¬ x = y
65jctr 298 . . . . . . 7 (∅ 𝐹 → (∅ 𝐹 y ¬ x = y))
7 19.42v 1764 . . . . . . 7 (y(∅ 𝐹 ¬ x = y) ↔ (∅ 𝐹 y ¬ x = y))
86, 7sylibr 137 . . . . . 6 (∅ 𝐹y(∅ 𝐹 ¬ x = y))
9 opprc1 3541 . . . . . . . 8 A V → ⟨A, x⟩ = ∅)
109eleq1d 2084 . . . . . . 7 A V → (⟨A, x 𝐹 ↔ ∅ 𝐹))
11 opprc1 3541 . . . . . . . . . . . 12 A V → ⟨A, y⟩ = ∅)
1211eleq1d 2084 . . . . . . . . . . 11 A V → (⟨A, y 𝐹 ↔ ∅ 𝐹))
1310, 12anbi12d 445 . . . . . . . . . 10 A V → ((⟨A, x 𝐹 A, y 𝐹) ↔ (∅ 𝐹 𝐹)))
14 anidm 376 . . . . . . . . . 10 ((∅ 𝐹 𝐹) ↔ ∅ 𝐹)
1513, 14syl6bb 185 . . . . . . . . 9 A V → ((⟨A, x 𝐹 A, y 𝐹) ↔ ∅ 𝐹))
1615anbi1d 441 . . . . . . . 8 A V → (((⟨A, x 𝐹 A, y 𝐹) ¬ x = y) ↔ (∅ 𝐹 ¬ x = y)))
1716exbidv 1684 . . . . . . 7 A V → (y((⟨A, x 𝐹 A, y 𝐹) ¬ x = y) ↔ y(∅ 𝐹 ¬ x = y)))
1810, 17imbi12d 223 . . . . . 6 A V → ((⟨A, x 𝐹y((⟨A, x 𝐹 A, y 𝐹) ¬ x = y)) ↔ (∅ 𝐹y(∅ 𝐹 ¬ x = y))))
198, 18mpbiri 157 . . . . 5 A V → (⟨A, x 𝐹y((⟨A, x 𝐹 A, y 𝐹) ¬ x = y)))
20 df-br 3735 . . . . 5 (A𝐹x ↔ ⟨A, x 𝐹)
21 df-br 3735 . . . . . . . 8 (A𝐹y ↔ ⟨A, y 𝐹)
2220, 21anbi12i 436 . . . . . . 7 ((A𝐹x A𝐹y) ↔ (⟨A, x 𝐹 A, y 𝐹))
2322anbi1i 434 . . . . . 6 (((A𝐹x A𝐹y) ¬ x = y) ↔ ((⟨A, x 𝐹 A, y 𝐹) ¬ x = y))
2423exbii 1474 . . . . 5 (y((A𝐹x A𝐹y) ¬ x = y) ↔ y((⟨A, x 𝐹 A, y 𝐹) ¬ x = y))
2519, 20, 243imtr4g 194 . . . 4 A V → (A𝐹xy((A𝐹x A𝐹y) ¬ x = y)))
2625eximdv 1738 . . 3 A V → (x A𝐹xxy((A𝐹x A𝐹y) ¬ x = y)))
27 exanaliim 1516 . . . . . 6 (y((A𝐹x A𝐹y) ¬ x = y) → ¬ y((A𝐹x A𝐹y) → x = y))
2827eximi 1469 . . . . 5 (xy((A𝐹x A𝐹y) ¬ x = y) → x ¬ y((A𝐹x A𝐹y) → x = y))
29 exnalim 1515 . . . . 5 (x ¬ y((A𝐹x A𝐹y) → x = y) → ¬ xy((A𝐹x A𝐹y) → x = y))
3028, 29syl 14 . . . 4 (xy((A𝐹x A𝐹y) ¬ x = y) → ¬ xy((A𝐹x A𝐹y) → x = y))
31 breq2 3738 . . . . . 6 (x = y → (A𝐹xA𝐹y))
3231mo4 1939 . . . . 5 (∃*x A𝐹xxy((A𝐹x A𝐹y) → x = y))
3332notbii 581 . . . 4 ∃*x A𝐹x ↔ ¬ xy((A𝐹x A𝐹y) → x = y))
3430, 33sylibr 137 . . 3 (xy((A𝐹x A𝐹y) ¬ x = y) → ¬ ∃*x A𝐹x)
3526, 34syl6 29 . 2 A V → (x A𝐹x → ¬ ∃*x A𝐹x))
36 eu5 1925 . . . 4 (∃!x A𝐹x ↔ (x A𝐹x ∃*x A𝐹x))
3736notbii 581 . . 3 ∃!x A𝐹x ↔ ¬ (x A𝐹x ∃*x A𝐹x))
38 imnan 611 . . 3 ((x A𝐹x → ¬ ∃*x A𝐹x) ↔ ¬ (x A𝐹x ∃*x A𝐹x))
3937, 38bitr4i 176 . 2 ∃!x A𝐹x ↔ (x A𝐹x → ¬ ∃*x A𝐹x))
4035, 39sylibr 137 1 A V → ¬ ∃!x A𝐹x)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wal 1224  wex 1358   wcel 1370  ∃!weu 1878  ∃*wmo 1879  Vcvv 2531  c0 3197  cop 3349   class class class wbr 3734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-setind 4200
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-br 3735
This theorem is referenced by:  fvprc  5093
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