ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnqprlemru Unicode version

Theorem addnqprlemru 6539
Description: Lemma for addnqpr 6542. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
addnqprlemru  Q.  Q.  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  C_  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.
Distinct variable groups:   , l,   , l,

Proof of Theorem addnqprlemru
Dummy variables  h  r  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqprlu 6530 . . . . . 6  Q.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P.
2 nqprlu 6530 . . . . . 6  Q.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P.
3 df-iplp 6451 . . . . . . 7  +P.  P. ,  P.  |->  <. {  Q.  |  Q.  h  Q.  1st `  h  1st `  +Q  h } ,  {  Q.  |  Q.  h  Q.  2nd `  h  2nd `  +Q  h } >.
4 addclnq 6359 . . . . . . 7  Q.  h  Q.  +Q  h  Q.
53, 4genpelvu 6496 . . . . . 6 
<. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P. 
<. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  P.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
r  s  +Q  t
61, 2, 5syl2an 273 . . . . 5  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
r  s  +Q  t
76biimpa 280 . . . 4  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
r  s  +Q  t
8 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13  s 
_V
9 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13  s  <Q  <Q  s
10 ltnqex 6531 . . . . . . . . . . . . . 14  { l  |  l  <Q  }  _V
11 gtnqex 6532 . . . . . . . . . . . . . 14  {  |  <Q  }  _V
1210, 11op2nd 5716 . . . . . . . . . . . . 13  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  {  |  <Q  }
138, 9, 12elab2 2684 . . . . . . . . . . . 12  s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  <Q  s
1413biimpi 113 . . . . . . . . . . 11  s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  <Q  s
1514ad2antrl 459 . . . . . . . . . 10  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  <Q  s
1615adantr 261 . . . . . . . . 9  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  s  +Q  t  <Q  s
17 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13  t 
_V
18 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13  t  <Q  <Q  t
19 ltnqex 6531 . . . . . . . . . . . . . 14  { l  |  l  <Q  }  _V
20 gtnqex 6532 . . . . . . . . . . . . . 14  {  |  <Q  }  _V
2119, 20op2nd 5716 . . . . . . . . . . . . 13  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  {  |  <Q  }
2217, 18, 21elab2 2684 . . . . . . . . . . . 12  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  <Q  t
2322biimpi 113 . . . . . . . . . . 11  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  <Q  t
2423ad2antll 460 . . . . . . . . . 10  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  <Q  t
2524adantr 261 . . . . . . . . 9  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  s  +Q  t  <Q  t
26 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . 12  <Q  C_  Q.  X.  Q.
2726brel 4335 . . . . . . . . . . 11 
<Q  s  Q.  s  Q.
2816, 27syl 14 . . . . . . . . . 10  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  s  +Q  t  Q.  s  Q.
2926brel 4335 . . . . . . . . . . 11 
<Q  t  Q.  t  Q.
3025, 29syl 14 . . . . . . . . . 10  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  s  +Q  t  Q.  t  Q.
31 lt2addnq 6388 . . . . . . . . . 10  Q.  s  Q.  Q.  t  Q. 
<Q  s  <Q  t  +Q  <Q  s  +Q  t
3228, 30, 31syl2anc 391 . . . . . . . . 9  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  s  +Q  t  <Q  s  <Q  t  +Q  <Q  s  +Q  t
3316, 25, 32mp2and 409 . . . . . . . 8  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  s  +Q  t  +Q  <Q  s  +Q  t
34 breq2 3759 . . . . . . . . 9  r  s  +Q  t  +Q  <Q  r  +Q  <Q  s  +Q  t
3534adantl 262 . . . . . . . 8  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  s  +Q  t  +Q  <Q  r  +Q  <Q  s  +Q  t
3633, 35mpbird 156 . . . . . . 7  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  s  +Q  t  +Q  <Q  r
37 vex 2554 . . . . . . . 8  r 
_V
38 breq2 3759 . . . . . . . 8  r  +Q  <Q  +Q  <Q  r
39 ltnqex 6531 . . . . . . . . 9  { l  |  l  <Q  +Q  }  _V
40 gtnqex 6532 . . . . . . . . 9  {  |  +Q  <Q  }  _V
4139, 40op2nd 5716 . . . . . . . 8  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  {  |  +Q  <Q  }
4237, 38, 41elab2 2684 . . . . . . 7  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.  +Q  <Q  r
4336, 42sylibr 137 . . . . . 6  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  s  +Q  t  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.
4443ex 108 . . . . 5  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. 
r  s  +Q  t  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.
4544rexlimdvva 2434 . . . 4  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  s  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >. t  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.
r  s  +Q  t  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.
467, 45mpd 13 . . 3  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.
4746ex 108 . 2  Q.  Q.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  r  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q 
<Q  } >.
4847ssrdv 2945 1  Q.  Q.  2nd `  <. { l  |  l 
<Q  } ,  {  |  <Q  } >.  +P.  <. { l  |  l  <Q  } ,  {  |  <Q  } >.  C_  2nd `  <. { l  |  l  <Q  +Q  } ,  {  |  +Q  <Q  } >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wrex 2301    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269   P.cnp 6275    +P. cpp 6277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6449  df-iplp 6451
This theorem is referenced by:  addnqprlemfl  6540  addnqpr  6542
  Copyright terms: Public domain W3C validator