ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addlocprlemeq Unicode version

Theorem addlocprlemeq 6516
Description: Lemma for addlocpr 6519. The  Q  D  +Q  E case. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlocprlem.a  P.
addlocprlem.b  P.
addlocprlem.qr  Q  <Q  R
addlocprlem.p  P  Q.
addlocprlem.qppr  Q  +Q  P  +Q  P  R
addlocprlem.dlo  D  1st `
addlocprlem.uup  U  2nd `
addlocprlem.du  U  <Q  D  +Q  P
addlocprlem.elo  E  1st `
addlocprlem.tup  T  2nd `
addlocprlem.et  T  <Q  E  +Q  P
Assertion
Ref Expression
addlocprlemeq  Q  D  +Q  E  R  2nd `  +P.

Proof of Theorem addlocprlemeq
StepHypRef Expression
1 addlocprlem.a . . . . . 6  P.
2 addlocprlem.b . . . . . 6  P.
3 addlocprlem.qr . . . . . 6  Q  <Q  R
4 addlocprlem.p . . . . . 6  P  Q.
5 addlocprlem.qppr . . . . . 6  Q  +Q  P  +Q  P  R
6 addlocprlem.dlo . . . . . 6  D  1st `
7 addlocprlem.uup . . . . . 6  U  2nd `
8 addlocprlem.du . . . . . 6  U  <Q  D  +Q  P
9 addlocprlem.elo . . . . . 6  E  1st `
10 addlocprlem.tup . . . . . 6  T  2nd `
11 addlocprlem.et . . . . . 6  T  <Q  E  +Q  P
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11addlocprlemeqgt 6515 . . . . 5  U  +Q  T  <Q  D  +Q  E  +Q  P  +Q  P
1312adantr 261 . . . 4  Q  D  +Q  E  U  +Q  T  <Q  D  +Q  E  +Q  P  +Q  P
14 oveq1 5462 . . . . 5  Q  D  +Q  E  Q  +Q  P  +Q  P  D  +Q  E  +Q  P  +Q  P
155, 14sylan9req 2090 . . . 4  Q  D  +Q  E  R  D  +Q  E  +Q  P  +Q  P
1613, 15breqtrrd 3781 . . 3  Q  D  +Q  E  U  +Q  T  <Q  R
171, 7jca 290 . . . . 5  P.  U  2nd `
182, 10jca 290 . . . . 5  P.  T  2nd `
19 ltrelnq 6349 . . . . . . . 8  <Q  C_  Q.  X.  Q.
2019brel 4335 . . . . . . 7  Q 
<Q  R  Q  Q.  R  Q.
2120simprd 107 . . . . . 6  Q 
<Q  R  R 
Q.
223, 21syl 14 . . . . 5  R  Q.
23 addnqpru 6513 . . . . 5  P.  U  2nd `  P.  T  2nd `  R  Q.  U  +Q  T  <Q  R  R  2nd `  +P.
2417, 18, 22, 23syl21anc 1133 . . . 4  U  +Q  T  <Q  R 
R  2nd `  +P.
2524adantr 261 . . 3  Q  D  +Q  E  U  +Q  T 
<Q  R  R  2nd `  +P.
2616, 25mpd 13 . 2  Q  D  +Q  E  R  2nd `  +P.
2726ex 108 1  Q  D  +Q  E  R  2nd `  +P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269   P.cnp 6275    +P. cpp 6277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6449  df-iplp 6451
This theorem is referenced by:  addlocprlem  6518
  Copyright terms: Public domain W3C validator