Theorem tposfo 5886

Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfo	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Proof of Theorem tposfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4447	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposfo2 5882	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶)
4		cnvxp 4742	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		foeq2 5103	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 127	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1243   × cxp 4343  ^◡ccnv 4344  Rel wrel 4350  –onto→wfo 4900  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fo 4908  df-fv 4910  df-tpos 5860

This theorem is referenced by: (None)