ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposfo GIF version

Theorem tposfo 5886
Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposfo (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶)

Proof of Theorem tposfo
StepHypRef Expression
1 relxp 4447 . . 3 Rel (𝐴 × 𝐵)
2 tposfo2 5882 . . 3 (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶))
31, 2ax-mp 7 . 2 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶)
4 cnvxp 4742 . . 3 (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5 foeq2 5103 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶))
64, 5ax-mp 7 . 2 (tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶)
73, 6sylib 127 1 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   = wceq 1243   × cxp 4343  ccnv 4344  Rel wrel 4350  ontowfo 4900  tpos ctpos 5859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fo 4908  df-fv 4910  df-tpos 5860
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator