Theorem sefvex 5196

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2560	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ V)
3		simp3 906	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴𝐹𝑥)
4		simp2 905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴 ∈ V)
5		brcnvg 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
6	1, 4, 5	sylancr 393	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
7	3, 6	mpbird 156	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥◡𝐹𝐴)
8		breq1 3767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦◡𝐹𝐴 ↔ 𝑥◡𝐹𝐴))
9	8	elrab 2698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥◡𝐹𝐴))
10	2, 7, 9	sylanbrc 394	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
11		elssuni 3608	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
13	12	3expia 1106	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
14	13	alrimiv 1754	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
15		fvss 5189	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
17		seex 4072	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
18		uniexg 4175	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
19	17, 18	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
20		ssexg 3896	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∧ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
21	16, 19, 20	syl2anc 391	1 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885  ∀wal 1241   ∈ wcel 1393  {crab 2310  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917  ∪ cuni 3580   class class class wbr 3764   Se wse 4066  ^◡ccnv 4344  ‘cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-se 4070  df-cnv 4353  df-iota 4867  df-fv 4910

This theorem is referenced by: (None)