ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sefvex Structured version   GIF version

Theorem sefvex 5121
Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
sefvex ((𝐹 Se V A V) → (𝐹A) V)

Proof of Theorem sefvex
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2538 . . . . . . . 8 x V
21a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → x V)
3 simp3 894 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → A𝐹x)
4 simp2 893 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → A V)
5 brcnvg 4443 . . . . . . . . 9 ((x V A V) → (x𝐹AA𝐹x))
61, 4, 5sylancr 395 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → (x𝐹AA𝐹x))
73, 6mpbird 156 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → x𝐹A)
8 breq1 3741 . . . . . . . 8 (y = x → (y𝐹Ax𝐹A))
98elrab 2675 . . . . . . 7 (x {y V ∣ y𝐹A} ↔ (x V x𝐹A))
102, 7, 9sylanbrc 396 . . . . . 6 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → x {y V ∣ y𝐹A})
11 elssuni 3582 . . . . . 6 (x {y V ∣ y𝐹A} → x {y V ∣ y𝐹A})
1210, 11syl 14 . . . . 5 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → x {y V ∣ y𝐹A})
13123expia 1092 . . . 4 ((𝐹 Se V A V) → (A𝐹xx {y V ∣ y𝐹A}))
1413alrimiv 1736 . . 3 ((𝐹 Se V A V) → x(A𝐹xx {y V ∣ y𝐹A}))
15 fvss 5114 . . 3 (x(A𝐹xx {y V ∣ y𝐹A}) → (𝐹A) ⊆ {y V ∣ y𝐹A})
1614, 15syl 14 . 2 ((𝐹 Se V A V) → (𝐹A) ⊆ {y V ∣ y𝐹A})
17 seex 4040 . . 3 ((𝐹 Se V A V) → {y V ∣ y𝐹A} V)
18 uniexg 4125 . . 3 ({y V ∣ y𝐹A} V → {y V ∣ y𝐹A} V)
1917, 18syl 14 . 2 ((𝐹 Se V A V) → {y V ∣ y𝐹A} V)
20 ssexg 3870 . 2 (((𝐹A) ⊆ {y V ∣ y𝐹A} {y V ∣ y𝐹A} V) → (𝐹A) V)
2116, 19, 20syl2anc 393 1 ((𝐹 Se V A V) → (𝐹A) V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 873  wal 1226   wcel 1374  {crab 2288  Vcvv 2535  wss 2894   cuni 3554   class class class wbr 3738   Se wse 4038  ccnv 4271  cfv 4829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-rab 2293  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-se 4039  df-cnv 4280  df-iota 4794  df-fv 4837
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator