ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sefvex Structured version   GIF version

Theorem sefvex 5139
Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
sefvex ((𝐹 Se V A V) → (𝐹A) V)

Proof of Theorem sefvex
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2554 . . . . . . . 8 x V
21a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → x V)
3 simp3 905 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → A𝐹x)
4 simp2 904 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → A V)
5 brcnvg 4459 . . . . . . . . 9 ((x V A V) → (x𝐹AA𝐹x))
61, 4, 5sylancr 393 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → (x𝐹AA𝐹x))
73, 6mpbird 156 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → x𝐹A)
8 breq1 3758 . . . . . . . 8 (y = x → (y𝐹Ax𝐹A))
98elrab 2692 . . . . . . 7 (x {y V ∣ y𝐹A} ↔ (x V x𝐹A))
102, 7, 9sylanbrc 394 . . . . . 6 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → x {y V ∣ y𝐹A})
11 elssuni 3599 . . . . . 6 (x {y V ∣ y𝐹A} → x {y V ∣ y𝐹A})
1210, 11syl 14 . . . . 5 ((𝐹 Se V A V A𝐹x) → x {y V ∣ y𝐹A})
13123expia 1105 . . . 4 ((𝐹 Se V A V) → (A𝐹xx {y V ∣ y𝐹A}))
1413alrimiv 1751 . . 3 ((𝐹 Se V A V) → x(A𝐹xx {y V ∣ y𝐹A}))
15 fvss 5132 . . 3 (x(A𝐹xx {y V ∣ y𝐹A}) → (𝐹A) ⊆ {y V ∣ y𝐹A})
1614, 15syl 14 . 2 ((𝐹 Se V A V) → (𝐹A) ⊆ {y V ∣ y𝐹A})
17 seex 4057 . . 3 ((𝐹 Se V A V) → {y V ∣ y𝐹A} V)
18 uniexg 4141 . . 3 ({y V ∣ y𝐹A} V → {y V ∣ y𝐹A} V)
1917, 18syl 14 . 2 ((𝐹 Se V A V) → {y V ∣ y𝐹A} V)
20 ssexg 3887 . 2 (((𝐹A) ⊆ {y V ∣ y𝐹A} {y V ∣ y𝐹A} V) → (𝐹A) V)
2116, 19, 20syl2anc 391 1 ((𝐹 Se V A V) → (𝐹A) V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884  wal 1240   wcel 1390  {crab 2304  Vcvv 2551  wss 2911   cuni 3571   class class class wbr 3755   Se wse 4055  ccnv 4287  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-se 4056  df-cnv 4296  df-iota 4810  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator