Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fv3 Structured version   GIF version

Theorem fv3 5138
 Description: Alternate definition of the value of a function. Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fv3 (𝐹A) = {x ∣ (y(x y A𝐹y) ∃!y A𝐹y)}
Distinct variable groups:   x,y,𝐹   x,A,y

Proof of Theorem fv3
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfv 5117 . . 3 (x (𝐹A) ↔ z(x z y(A𝐹yy = z)))
2 bi2 121 . . . . . . . . . 10 ((A𝐹yy = z) → (y = zA𝐹y))
32alimi 1341 . . . . . . . . 9 (y(A𝐹yy = z) → y(y = zA𝐹y))
4 vex 2554 . . . . . . . . . 10 z V
5 breq2 3758 . . . . . . . . . 10 (y = z → (A𝐹yA𝐹z))
64, 5ceqsalv 2578 . . . . . . . . 9 (y(y = zA𝐹y) ↔ A𝐹z)
73, 6sylib 127 . . . . . . . 8 (y(A𝐹yy = z) → A𝐹z)
87anim2i 324 . . . . . . 7 ((x z y(A𝐹yy = z)) → (x z A𝐹z))
98eximi 1488 . . . . . 6 (z(x z y(A𝐹yy = z)) → z(x z A𝐹z))
10 elequ2 1598 . . . . . . . 8 (z = y → (x zx y))
11 breq2 3758 . . . . . . . 8 (z = y → (A𝐹zA𝐹y))
1210, 11anbi12d 442 . . . . . . 7 (z = y → ((x z A𝐹z) ↔ (x y A𝐹y)))
1312cbvexv 1792 . . . . . 6 (z(x z A𝐹z) ↔ y(x y A𝐹y))
149, 13sylib 127 . . . . 5 (z(x z y(A𝐹yy = z)) → y(x y A𝐹y))
15 exsimpr 1506 . . . . . 6 (z(x z y(A𝐹yy = z)) → zy(A𝐹yy = z))
16 df-eu 1900 . . . . . 6 (∃!y A𝐹yzy(A𝐹yy = z))
1715, 16sylibr 137 . . . . 5 (z(x z y(A𝐹yy = z)) → ∃!y A𝐹y)
1814, 17jca 290 . . . 4 (z(x z y(A𝐹yy = z)) → (y(x y A𝐹y) ∃!y A𝐹y))
19 nfeu1 1908 . . . . . . 7 y∃!y A𝐹y
20 nfv 1418 . . . . . . . . 9 y x z
21 nfa1 1431 . . . . . . . . 9 yy(A𝐹yy = z)
2220, 21nfan 1454 . . . . . . . 8 y(x z y(A𝐹yy = z))
2322nfex 1525 . . . . . . 7 yz(x z y(A𝐹yy = z))
2419, 23nfim 1461 . . . . . 6 y(∃!y A𝐹yz(x z y(A𝐹yy = z)))
25 bi1 111 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A𝐹yy = z) → (A𝐹yy = z))
26 ax-14 1402 . . . . . . . . . . . . . 14 (y = z → (x yx z))
2725, 26syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13 ((A𝐹yy = z) → (A𝐹y → (x yx z)))
2827com23 72 . . . . . . . . . . . 12 ((A𝐹yy = z) → (x y → (A𝐹yx z)))
2928impd 242 . . . . . . . . . . 11 ((A𝐹yy = z) → ((x y A𝐹y) → x z))
3029sps 1427 . . . . . . . . . 10 (y(A𝐹yy = z) → ((x y A𝐹y) → x z))
3130anc2ri 313 . . . . . . . . 9 (y(A𝐹yy = z) → ((x y A𝐹y) → (x z y(A𝐹yy = z))))
3231com12 27 . . . . . . . 8 ((x y A𝐹y) → (y(A𝐹yy = z) → (x z y(A𝐹yy = z))))
3332eximdv 1757 . . . . . . 7 ((x y A𝐹y) → (zy(A𝐹yy = z) → z(x z y(A𝐹yy = z))))
3416, 33syl5bi 141 . . . . . 6 ((x y A𝐹y) → (∃!y A𝐹yz(x z y(A𝐹yy = z))))
3524, 34exlimi 1482 . . . . 5 (y(x y A𝐹y) → (∃!y A𝐹yz(x z y(A𝐹yy = z))))
3635imp 115 . . . 4 ((y(x y A𝐹y) ∃!y A𝐹y) → z(x z y(A𝐹yy = z)))
3718, 36impbii 117 . . 3 (z(x z y(A𝐹yy = z)) ↔ (y(x y A𝐹y) ∃!y A𝐹y))
381, 37bitri 173 . 2 (x (𝐹A) ↔ (y(x y A𝐹y) ∃!y A𝐹y))
3938abbi2i 2149 1 (𝐹A) = {x ∣ (y(x y A𝐹y) ∃!y A𝐹y)}
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  {cab 2023   class class class wbr 3754  ‘cfv 4844 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-br 3755  df-iota 4809  df-fv 4852 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator