Theorem resoprab2 5540

Description: Restriction of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
resoprab2	⊢ ((𝐶 ⊆ A ∧ 𝐷 ⊆ B) → ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ φ)})

Distinct variable groups:   x,A,y,z   x,B,y,z   x,𝐶,y,z   x,𝐷,y,z

Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)

Proof of Theorem resoprab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resoprab 5539	. 2 ⊢ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ))}
2		anass 381	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) ∧ φ) ↔ ((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)))
3		an4 520	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) ↔ ((x ∈ 𝐶 ∧ x ∈ A) ∧ (y ∈ 𝐷 ∧ y ∈ B)))
4		ssel 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ A → (x ∈ 𝐶 → x ∈ A))
5	4	pm4.71d 373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ A → (x ∈ 𝐶 ↔ (x ∈ 𝐶 ∧ x ∈ A)))
6	5	bicomd 129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ⊆ A → ((x ∈ 𝐶 ∧ x ∈ A) ↔ x ∈ 𝐶))
7		ssel 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ⊆ B → (y ∈ 𝐷 → y ∈ B))
8	7	pm4.71d 373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ B → (y ∈ 𝐷 ↔ (y ∈ 𝐷 ∧ y ∈ B)))
9	8	bicomd 129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ⊆ B → ((y ∈ 𝐷 ∧ y ∈ B) ↔ y ∈ 𝐷))
10	6, 9	bi2anan9 538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ A ∧ 𝐷 ⊆ B) → (((x ∈ 𝐶 ∧ x ∈ A) ∧ (y ∈ 𝐷 ∧ y ∈ B)) ↔ (x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷)))
11	3, 10	syl5bb 181	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ⊆ A ∧ 𝐷 ⊆ B) → (((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) ↔ (x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷)))
12	11	anbi1d 438	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ A ∧ 𝐷 ⊆ B) → ((((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) ∧ φ) ↔ ((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ φ)))
13	2, 12	syl5bbr 183	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ A ∧ 𝐷 ⊆ B) → (((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)) ↔ ((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ φ)))
14	13	oprabbidv 5501	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ A ∧ 𝐷 ⊆ B) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ))} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ φ)})
15	1, 14	syl5eq 2081	1 ⊢ ((𝐶 ⊆ A ∧ 𝐷 ⊆ B) → ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ 𝐶 ∧ y ∈ 𝐷) ∧ φ)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ⊆ wss 2911   × cxp 4286   ↾ cres 4290  {coprab 5456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-res 4300  df-oprab 5459

This theorem is referenced by:  resmpt2  5541