ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resoprab2 GIF version

Theorem resoprab2 5540
Description: Restriction of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
resoprab2 ((𝐶A 𝐷B) → ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x 𝐶 y 𝐷) φ)})
Distinct variable groups:   x,A,y,z   x,B,y,z   x,𝐶,y,z   x,𝐷,y,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)

Proof of Theorem resoprab2
StepHypRef Expression
1 resoprab 5539 . 2 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x 𝐶 y 𝐷) ((x A y B) φ))}
2 anass 381 . . . 4 ((((x 𝐶 y 𝐷) (x A y B)) φ) ↔ ((x 𝐶 y 𝐷) ((x A y B) φ)))
3 an4 520 . . . . . 6 (((x 𝐶 y 𝐷) (x A y B)) ↔ ((x 𝐶 x A) (y 𝐷 y B)))
4 ssel 2933 . . . . . . . . 9 (𝐶A → (x 𝐶x A))
54pm4.71d 373 . . . . . . . 8 (𝐶A → (x 𝐶 ↔ (x 𝐶 x A)))
65bicomd 129 . . . . . . 7 (𝐶A → ((x 𝐶 x A) ↔ x 𝐶))
7 ssel 2933 . . . . . . . . 9 (𝐷B → (y 𝐷y B))
87pm4.71d 373 . . . . . . . 8 (𝐷B → (y 𝐷 ↔ (y 𝐷 y B)))
98bicomd 129 . . . . . . 7 (𝐷B → ((y 𝐷 y B) ↔ y 𝐷))
106, 9bi2anan9 538 . . . . . 6 ((𝐶A 𝐷B) → (((x 𝐶 x A) (y 𝐷 y B)) ↔ (x 𝐶 y 𝐷)))
113, 10syl5bb 181 . . . . 5 ((𝐶A 𝐷B) → (((x 𝐶 y 𝐷) (x A y B)) ↔ (x 𝐶 y 𝐷)))
1211anbi1d 438 . . . 4 ((𝐶A 𝐷B) → ((((x 𝐶 y 𝐷) (x A y B)) φ) ↔ ((x 𝐶 y 𝐷) φ)))
132, 12syl5bbr 183 . . 3 ((𝐶A 𝐷B) → (((x 𝐶 y 𝐷) ((x A y B) φ)) ↔ ((x 𝐶 y 𝐷) φ)))
1413oprabbidv 5501 . 2 ((𝐶A 𝐷B) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x 𝐶 y 𝐷) ((x A y B) φ))} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x 𝐶 y 𝐷) φ)})
151, 14syl5eq 2081 1 ((𝐶A 𝐷B) → ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x 𝐶 y 𝐷) φ)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wss 2911   × cxp 4286  cres 4290  {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-res 4300  df-oprab 5459
This theorem is referenced by:  resmpt2  5541
  Copyright terms: Public domain W3C validator