ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nfvres Structured version   GIF version

Theorem nfvres 5149
Description: The value of a non-member of a restriction is the empty set. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
nfvres A B → ((𝐹B)‘A) = ∅)

Proof of Theorem nfvres
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fv 4853 . . . . . . . . . 10 ((𝐹B)‘A) = (℩xA(𝐹B)x)
2 df-iota 4810 . . . . . . . . . 10 (℩xA(𝐹B)x) = {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}}
31, 2eqtri 2057 . . . . . . . . 9 ((𝐹B)‘A) = {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}}
43eleq2i 2101 . . . . . . . 8 (z ((𝐹B)‘A) ↔ z {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}})
5 eluni 3574 . . . . . . . 8 (z {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}} ↔ w(z w w {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}}))
64, 5bitri 173 . . . . . . 7 (z ((𝐹B)‘A) ↔ w(z w w {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}}))
7 exsimpr 1506 . . . . . . 7 (w(z w w {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}}) → w w {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}})
86, 7sylbi 114 . . . . . 6 (z ((𝐹B)‘A) → w w {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}})
9 df-clab 2024 . . . . . . . 8 (w {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}} ↔ [w / y]{xA(𝐹B)x} = {y})
10 nfv 1418 . . . . . . . . 9 y{xA(𝐹B)x} = {w}
11 sneq 3378 . . . . . . . . . 10 (y = w → {y} = {w})
1211eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9 (y = w → ({xA(𝐹B)x} = {y} ↔ {xA(𝐹B)x} = {w}))
1310, 12sbie 1671 . . . . . . . 8 ([w / y]{xA(𝐹B)x} = {y} ↔ {xA(𝐹B)x} = {w})
149, 13bitri 173 . . . . . . 7 (w {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}} ↔ {xA(𝐹B)x} = {w})
1514exbii 1493 . . . . . 6 (w w {y ∣ {xA(𝐹B)x} = {y}} ↔ w{xA(𝐹B)x} = {w})
168, 15sylib 127 . . . . 5 (z ((𝐹B)‘A) → w{xA(𝐹B)x} = {w})
17 euabsn2 3430 . . . . 5 (∃!x A(𝐹B)xw{xA(𝐹B)x} = {w})
1816, 17sylibr 137 . . . 4 (z ((𝐹B)‘A) → ∃!x A(𝐹B)x)
19 euex 1927 . . . 4 (∃!x A(𝐹B)xx A(𝐹B)x)
20 df-br 3756 . . . . . . . 8 (A(𝐹B)x ↔ ⟨A, x (𝐹B))
21 df-res 4300 . . . . . . . . 9 (𝐹B) = (𝐹 ∩ (B × V))
2221eleq2i 2101 . . . . . . . 8 (⟨A, x (𝐹B) ↔ ⟨A, x (𝐹 ∩ (B × V)))
2320, 22bitri 173 . . . . . . 7 (A(𝐹B)x ↔ ⟨A, x (𝐹 ∩ (B × V)))
24 elin 3120 . . . . . . . 8 (⟨A, x (𝐹 ∩ (B × V)) ↔ (⟨A, x 𝐹 A, x (B × V)))
2524simprbi 260 . . . . . . 7 (⟨A, x (𝐹 ∩ (B × V)) → ⟨A, x (B × V))
2623, 25sylbi 114 . . . . . 6 (A(𝐹B)x → ⟨A, x (B × V))
27 opelxp1 4320 . . . . . 6 (⟨A, x (B × V) → A B)
2826, 27syl 14 . . . . 5 (A(𝐹B)xA B)
2928exlimiv 1486 . . . 4 (x A(𝐹B)xA B)
3018, 19, 293syl 17 . . 3 (z ((𝐹B)‘A) → A B)
3130con3i 561 . 2 A B → ¬ z ((𝐹B)‘A))
3231eq0rdv 3255 1 A B → ((𝐹B)‘A) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  [wsb 1642  ∃!weu 1897  {cab 2023  Vcvv 2551  cin 2910  c0 3218  {csn 3367  cop 3370   cuni 3571   class class class wbr 3755   × cxp 4286  cres 4290  cio 4808  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-res 4300  df-iota 4810  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator