ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nfvres Structured version   Unicode version

Theorem nfvres 5149
Description: The value of a non-member of a restriction is the empty set. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
nfvres  F  |`  `
 (/)

Proof of Theorem nfvres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fv 4853 . . . . . . . . . 10  F  |`  ` 
iota F  |`
2 df-iota 4810 . . . . . . . . . 10  iota F  |` 
U. {  |  {  |  F  |`  }  { } }
31, 2eqtri 2057 . . . . . . . . 9  F  |`  `  U. {  |  {  |  F  |`  }  { } }
43eleq2i 2101 . . . . . . . 8  F  |`  `  U. {  |  {  |  F  |`  }  { } }
5 eluni 3574 . . . . . . . 8  U. {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  {  |  F  |`  }  { } }
64, 5bitri 173 . . . . . . 7  F  |`  `  {  |  {  |  F  |`  }  { } }
7 exsimpr 1506 . . . . . . 7  {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  {  |  F  |`  }  { } }
86, 7sylbi 114 . . . . . 6  F  |`  `  {  |  {  |  F  |`  }  { } }
9 df-clab 2024 . . . . . . . 8  {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  F  |`  }  { }
10 nfv 1418 . . . . . . . . 9  F/ {  |  F  |`  }  { }
11 sneq 3378 . . . . . . . . . 10  { }  { }
1211eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9  {  |  F  |`  }  { }  {  |  F  |`  }  { }
1310, 12sbie 1671 . . . . . . . 8  {  |  F  |`  }  { }  {  |  F  |`  }  { }
149, 13bitri 173 . . . . . . 7  {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  F  |`  }  { }
1514exbii 1493 . . . . . 6  {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  F  |`  }  { }
168, 15sylib 127 . . . . 5  F  |`  `  {  |  F  |`  }  { }
17 euabsn2 3430 . . . . 5  F  |`  {  |  F  |`  }  { }
1816, 17sylibr 137 . . . 4  F  |`  `  F  |`
19 euex 1927 . . . 4  F  |`  F  |`
20 df-br 3756 . . . . . . . 8  F  |`  <. ,  >.  F  |`
21 df-res 4300 . . . . . . . . 9  F  |`  F  i^i  X.  _V
2221eleq2i 2101 . . . . . . . 8  <. ,  >.  F  |`  <. ,  >.  F  i^i  X.  _V
2320, 22bitri 173 . . . . . . 7  F  |`  <. ,  >.  F  i^i  X.  _V
24 elin 3120 . . . . . . . 8  <. ,  >.  F  i^i  X.  _V  <. ,  >.  F  <. ,  >.  X.  _V
2524simprbi 260 . . . . . . 7  <. ,  >.  F  i^i  X.  _V  <. ,  >.  X.  _V
2623, 25sylbi 114 . . . . . 6  F  |`  <. ,  >.  X.  _V
27 opelxp1 4320 . . . . . 6  <. ,  >.  X.  _V
2826, 27syl 14 . . . . 5  F  |`
2928exlimiv 1486 . . . 4  F  |`
3018, 19, 293syl 17 . . 3  F  |`  `
3130con3i 561 . 2  F  |`  `
3231eq0rdv 3255 1  F  |`  `
 (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wsb 1642  weu 1897   {cab 2023   _Vcvv 2551    i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   class class class wbr 3755    X. cxp 4286    |` cres 4290   iotacio 4808   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-res 4300  df-iota 4810  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator