ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nfvres Unicode version

Theorem nfvres 5152
Description: The value of a non-member of a restriction is the empty set. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
nfvres  F  |`  `
 (/)

Proof of Theorem nfvres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fv 4856 . . . . . . . . . 10  F  |`  ` 
iota F  |`
2 df-iota 4813 . . . . . . . . . 10  iota F  |` 
U. {  |  {  |  F  |`  }  { } }
31, 2eqtri 2060 . . . . . . . . 9  F  |`  `  U. {  |  {  |  F  |`  }  { } }
43eleq2i 2104 . . . . . . . 8  F  |`  `  U. {  |  {  |  F  |`  }  { } }
5 eluni 3577 . . . . . . . 8  U. {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  {  |  F  |`  }  { } }
64, 5bitri 173 . . . . . . 7  F  |`  `  {  |  {  |  F  |`  }  { } }
7 exsimpr 1509 . . . . . . 7  {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  {  |  F  |`  }  { } }
86, 7sylbi 114 . . . . . 6  F  |`  `  {  |  {  |  F  |`  }  { } }
9 df-clab 2027 . . . . . . . 8  {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  F  |`  }  { }
10 nfv 1421 . . . . . . . . 9  F/ {  |  F  |`  }  { }
11 sneq 3381 . . . . . . . . . 10  { }  { }
1211eqeq2d 2051 . . . . . . . . 9  {  |  F  |`  }  { }  {  |  F  |`  }  { }
1310, 12sbie 1674 . . . . . . . 8  {  |  F  |`  }  { }  {  |  F  |`  }  { }
149, 13bitri 173 . . . . . . 7  {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  F  |`  }  { }
1514exbii 1496 . . . . . 6  {  |  {  |  F  |`  }  { } }  {  |  F  |`  }  { }
168, 15sylib 127 . . . . 5  F  |`  `  {  |  F  |`  }  { }
17 euabsn2 3433 . . . . 5  F  |`  {  |  F  |`  }  { }
1816, 17sylibr 137 . . . 4  F  |`  `  F  |`
19 euex 1930 . . . 4  F  |`  F  |`
20 df-br 3759 . . . . . . . 8  F  |`  <. ,  >.  F  |`
21 df-res 4303 . . . . . . . . 9  F  |`  F  i^i  X.  _V
2221eleq2i 2104 . . . . . . . 8  <. ,  >.  F  |`  <. ,  >.  F  i^i  X.  _V
2320, 22bitri 173 . . . . . . 7  F  |`  <. ,  >.  F  i^i  X.  _V
24 elin 3123 . . . . . . . 8  <. ,  >.  F  i^i  X.  _V  <. ,  >.  F  <. ,  >.  X.  _V
2524simprbi 260 . . . . . . 7  <. ,  >.  F  i^i  X.  _V  <. ,  >.  X.  _V
2623, 25sylbi 114 . . . . . 6  F  |`  <. ,  >.  X.  _V
27 opelxp1 4323 . . . . . 6  <. ,  >.  X.  _V
2826, 27syl 14 . . . . 5  F  |`
2928exlimiv 1489 . . . 4  F  |`
3018, 19, 293syl 17 . . 3  F  |`  `
3130con3i 562 . 2  F  |`  `
3231eq0rdv 3258 1  F  |`  `
 (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wceq 1243  wex 1381   wcel 1393  wsb 1645  weu 1900   {cab 2026   _Vcvv 2554    i^i cin 2913   (/)c0 3221   {csn 3370   <.cop 3373   U.cuni 3574   class class class wbr 3758    X. cxp 4289    |` cres 4293   iotacio 4811   ` cfv 4848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3869  ax-pow 3921  ax-pr 3938
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-br 3759  df-opab 3813  df-xp 4297  df-res 4303  df-iota 4813  df-fv 4856
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator