Theorem ndmima 4702

Description: The image of a singleton outside the domain is empty. (Contributed by NM, 22-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ndmima	⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → (𝐵 “ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem ndmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4358	. 2 ⊢ (𝐵 “ {𝐴}) = ran (𝐵 ↾ {𝐴})
2		dmres 4632	. . . . 5 ⊢ dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ dom 𝐵)
3		incom 3129	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∩ dom 𝐵) = (dom 𝐵 ∩ {𝐴})
4	2, 3	eqtri 2060	. . . 4 ⊢ dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = (dom 𝐵 ∩ {𝐴})
5		disjsn 3432	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐵 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵)
6	5	biimpri 124	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → (dom 𝐵 ∩ {𝐴}) = ∅)
7	4, 6	syl5eq 2084	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅)
8		dm0rn0 4552	. . 3 ⊢ (dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅ ↔ ran (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅)
9	7, 8	sylib 127	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → ran (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅)
10	1, 9	syl5eq 2084	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → (𝐵 “ {𝐴}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ∩ cin 2916  ∅c0 3224  {csn 3375  dom cdm 4345  ran crn 4346   ↾ cres 4347   “ cima 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358

This theorem is referenced by:  fvun1  5239